The note of Legendre

구글이 구글 대시보드라는 서비스를 출시한 지 어느덧 6개월이 되었다고 합니다. 약 십만 명의 사용자가 서비스를 사용하고 있다고 하는데, 다양한 구글의 서비스들 이를테면 지메일, 구글 맵스, 구글 북스, 구글 닥스, 유튜브 등을 한번에 이용할 수 있다고 합니다.

구글 공식 블로그에서 구글 검색의 신규 업데이트를 2010년 5월 5일 발표했네요. 통합검색, 이미지 검색, 블로그 검색 등의 분류별 검색 내비게이션이 상단에 있어서 좀 찾기 어려운 점이 있었는데, 그런 부분들을 왼쪽 메뉴로 옮겼다고 합니다. 아무래도 왼쪽에서 큼직한 버튼으로 분류별 검색을 할 수 있으니 더 편리해질 것 같네요. 새로운 검색 인터페이스는 37개 언어를 시작으로 제공된다고 합니다.

그 외에 Google Squared라고 검색 결과를 표 형태로 출력해주는 구글랩의 서비스가 소개되어서 한 번 써 봤는데, 정말 신기하네요. 일목요연하게 종류별로 정리가 되고요. 검색의 가치가 데이터를 어떻게 가공하느야에 따라 정말 무궁무진하다는 느낌이 들었어요.

Recently, I read article titled Know When to Stop Designing, Quantitatively. Because first half of article was about mainly information theory which I recently studied in thermal physics, It was very intersting that he is applying this theory into the efficiency issue of user interface.

Introduction of mathematical concepts behind Information theory

These three statements which is belived as a truth about Christmas day.

1. Christmas day falls on a some day of the year.
2. Christmas day falls in the second half of the year.
3. Christmas day falls on the 25th of a month.

Because all days are fall on a some day of the year, the first statement has no new information. The second statement contains more information than first one, at a minimum we know which half of the year the holiday is. The last statement is even more particular and has the most information content.

We can see that more probable statement have less information, If we calculate the probability of the above three statements, the first one will be 1 because it is always true. The second one will be 1/2, and the last one will be 12/365 if we assume that the year is not leap year.

If we add the information above, that can be measured by multiplying two probabilties. Because the first statement has no information, it will be same probability if we multiplying the probability of statements 1 and 2, or 1 and 3. But If we multiplying the probability of statements 2 and 3, the probability will be 6/365.

The probability of two independent true statements are the product of each probabilities. It is obvious to presume that information content can be added. Claude Shannon which is called the father of information theory proposed the definition of information.

Information content  can be calculated using the Q=-k \rm{log} P where P is the probability of the statement and k is some positive constant. Suppose we select \rm{log}_{2}and k =1, then Q is determined in bits.

If we assume W is the number of cases probable, and the probabiltiy of one specific case will be 1/W. So, we can also define the Information content Q = -k log P = -k log (1/W) = -k log (W^(-1)) = -k(-1) log W = k log W.

Various language and Information capacity

In accordance with his calculation, English have approximately 5 bit choice assuming total number of letters is 32. 5 bit choice. Hiragana in Japanese have 76 letters including dakuten and yoon. Katakana has the same number of letters which Hiragana have. and if we use 6 punctuation marks likewise. The number of cases will be 158(76+76+6), and information in bit will be about 7.3 bits. It became Hiragana and Katakana have more information capacity than English letters by 46%. This is not exact, The percentage should be more than that, because I didn't consider Kanji.

In Korean language, one character will be combined using initial, vowel, and final from Jamo in Hangul. The possible number of characters by combinations of Jamo will be 11970. Some of them will be not used in common. Though I ignore 3700 cases of them, the number of bit choice will be more than 13 bit.

There is essential limit of this discussion, because I assume that every language can equally express something or some concept. But it is not true in reality. When we need to introduce new idea that never exists in some cultural envirionment, we have to make additional explanations about that.

It is meaningful in some of senses that the information capacity of one language can be calculated and compared using information as a physical quantity. And it is fun, too.

각도의 단위에는 네 가지가 있습니다.

우리가 일반적으로 쓰는 각도법(360도가 원 한바퀴),
호도법(또는 라디안, 2 pi rad가 원 한바퀴)
그레이드(400 gon가 원 한바퀴)
턴 (1 turn 또는 1 revolution 말 그대로 원 한바퀴)

Degree 부분의 위키피디아 표제어를 읽다가 흥미로운 부분을 인용해봅디다.

The selection of 360 as the number of degrees (i.e., smallest practical sub-arcs) in a circle was probably based on the fact that 360 is approximately the number of days in a year. Its use is often said to originate from the methods of the ancient Babylonians.

- 360을 원의 각도를 칭하는 숫자로 정한 이유는 아마 360이 약 1년의 일수가 된다는 사실에 기초했을 것입니다. 360을 쓴 것은 고대 바빌로니아 사람들의 방법에서 비롯했다고 사람들은 이야기합니다.

즉 1년의 숫자가 대략 360이니까 그걸 정했다는 설이 지배적인 것 같습니다. 그것때문에 우리의 직각은 90도 평각은 180도로 결정되었죠. 예전 사람들의 유산(legacy)이 바른 결정이었든 잘못된 결정이었는 현대까지 영향을 미치고 있다는 사례인데요.

키보드의 QWERTY 자판이, 초기 자판이 빨리 입력하면 엉킴이 있기에  일부러 사람들의 자판 입력을 느리게 하려는 목적이었지만,  결국 지금까지 보편화되어 버린 것같은 현상같네요.

라디안의 경우, 삼각함수와 관련된 해석학적 부분에서 수식 결과가 깔끔해진다는 이점 때문에 선호되고 있습니다. 극좌표계, 구면좌표계, 원통좌표계 등과 물리에서는 각속도, 각가속도, 위상차 등에서 쓰이고요.

그레이드라는 단위가 있는데, 이 단위가 좋은 점이 뭐냐면 원이 400 그레이드니까 직각이 100 gon, 평각이 200 gon가 됩니다. 그래서 암산하기가 편리해지죠, 어떤 물체가 17 gon을 향하고 있으면 그 옆에 직각을 향하는 방향은 117 gon 바로 뒤를 향하는 것은 217 gon같은 방식으로 산수가 간단하게 됩니다. 그레이드를 일반화하려는 시도가 있었지만 대부분 실패했고 프랑스 포병대와 몇몇 국가의 전문 영역에서만 채택했다고 합니다.

이 그레이드라는 단위가 또다른 레거시가 되었습니다. 1970~1980년 대에 출시된 공학용 계산기의 각도 변환 모드에 deg, rad, grad 세 종류가 삼각함수 계산을 위해 들어가게 되었습니다. 그레이드라는 단위가 현재 널리 쓰이지 않음에도, 공학용 계산기에는 이 기능이 대부분 포함되어 있죠. 하지만 최근 공학용 계산기에는 그레이드 각도 변환기능을 빼고 그냥 각도법이랑 라디안만 넣고 나오는 경우도 있다고 합니다. 제 계산기 사용 설명서에는 이런 역사적인 내용을 담기에는 담을 내용이 훨씬 많아서 그런지 간단히 기능 소개만 하고 넘어가네요.

턴의 경우에는 복소동역학 쪽에서 외부각과 내부각을 잴 때 쓰인다고 하는 군요 1 턴의 1/1,000인 1 milliturn도 쓴다고 합니다.
 
참고자료 (Creative Commons Attribution-ShareAlike License)
http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Radian
http://en.wikipedia.org/wiki/Grad_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Turn_%28geometry%29

플랑크 상수를 이용해서 여러가지 계산을 해볼 수 있습니다. 빛의 속도를 c라고 하고 그 값은 3 \times 10^{8} \rm ~ m/s라고 가정합시다. (진공에서의 빛의 속도는 오차 없이 정확히 299,792,458 m/s입니다. 왜냐하면 SI 단위인 미터의 단위가 빛이 1/(299 792 458) 초만큼 가는 거리로 정의되었기 때문이죠.) 이제 hc 값을 계산해 봅시다.

h = 6.626 \times 10^{-34} ~ \rm J \cdot s
hc = (6.626 \times 10^{-34} ~ \rm J \cdot s )(3 \times 10^{8} \rm ~ m/s)
= 6.626 \times 3 \times 10^{-26} \rm ~ J \cdot m
1 \rm ~ eV = 1.6 \times 10^{-19} ~ J
따라서 1 \rm ~ J = \frac{1}{1.6} \times 10^{19} \rm ~ eV
hc = 6.626 \times 3 \times 10^{-26} \times \frac{1}{1.6} \times 10^{19} \rm ~ eV \cdot m
= \left( \frac{6.626 \times 3}{1.6} \right) 10^{-7} \rm ~ eV \cdot m
그런데, 1 \rm ~ eV = 10^{-6} ~ MeV 이고, 1 \rm ~ fm = 10^{-15} ~ m임을 이용하면
hc = 1242.375 \rm ~ MeV \cdot m \approx 1240 ~ \rm MeV \cdot fm이 됩니다.

위 수식들을 자세히 살펴보시면 h나 c는 이탤릭체로 표현되어 있는데 단어는 전부 로마자(정자) 형태를 하고 있음을 보실 수 있습니다. 과학적 논의를 위한 수식을 쓸 때에는 물리적 상수나 수학 상수처럼 값이 고정되어 변하지 않는 값이지만 그 값을 대신하여 쓰는 경우에는 이탤릭체로 표현을 합니다. 그리고 매개변수나 독립변수 들도 이탤릭체로 표현되는데 이렇게 이탤릭체를 많이 쓰기 때문에 TeX에서 기본 서체를 이탤릭으로 정한 것 같습니다.

하지만 SI 7개 단위를 비롯한 각종 CGS 단위, SI 접두사 등은 변수나 상수가 아니므로, 숫자 값에서 구분하기 위해 로마자로 띄어 써서 표시해야 합니다. 이를 TeX에서 표현하려면 \rm을 앞에 붙여 기본 이탤릭 설정으로 로마자 형식으로 바꾸고 ~으로 띄어 써야 합니다. (아래아 한글 프로그램의 수식에서는 TeX 문법과 조금 다르게 필요한 수식을 다 입력하시고 그냥 rm을 입력하고 키보드 1옆에 있는 `으로 띄어 쓰기를 합니다. 그냥 수식이 없는 상태에서 `을 누르면 TeX의 \cdot 처럼 가운뎃점으로 표시해주더군요.) 이에 관련된 PDF 문서로는 Mills, I. M.; Metanomski, W. V. (December 1999), On the use of italic and roman fonts for symbols in scientific text, IUPAC Interdivisional Committee on Nomenclature and Symbols을, 관련된 웹 페이지로는 SI writing style (Wikipedia)을 참조하시면 됩니다.
 
참고자료 License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant
http://en.wikipedia.org/wiki/Italic_type
http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light

플랑크상수는 물리상수 중에 하나로, 광자의 에너지를 표현할 때나, 드브로이의 파장 식, 슈뢰딩거 방정식 등 많은 물리 수식에 등장하곤 합니다. 또한, 양자역학에서 양자의 크기를 기술하기 위해 사용됩니다.
영문 위키피디아에 의하면 플랑크 상수는 다음과 같습니다. 거시적인 계산의 경우 줄 단위를, 미시적인 계산일 경우 eV를 선택해서 사용하는 것이 계산에 편리합니다.

Values of h     Units
6.62606896(33)×10^−34     J·s
4.13566733(10)×10^−15     eV·s
6.62606896(33)×10^−27     erg·s
Values of ħ     Units
1.054571628(53)×10^−34     J·s
6.58211899(16)×10^−16     eV·s
1.054571628(53)×10^−27     erg·s

위 값중 많이 쓰는 줄 단위와 eV 단위의 플랑크상수를 소수 점 넷째자리에서 반올림하면 다음과 같습니다. 그냥 플랑크 상수 값 h는 h = 6.626 \times 10^{-34}\rm ~ J \cdot s = 4.136 \times 10^{-15} \rm ~ eV \cdot s입니다. 그리고 플랑크 상수에 2 \pi를 나눈 h bar (에이치 바, 하바)값은 \hbar = 1.055 \times 10^{-34} \rm ~ J \cdot s = 6.582 \times 10^{-16} \rm ~ eV \cdot s이 됩니다. 두 값 모두 물리적으로 중요한 의미를 갖는 상수이고, 물리 수식에서 자주 등장하므로 두 단위로 외워두면 계산에 편리합니다.



참고자료 License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant

빛의 파동성의 증거에도, 알베르트 아인슈타인은 1905년 그의 유명한 논문 중 광전효과에 대한 현상을 양자들로 구성된 전자기장이라고 처음으로 제안하였다. 여기서 양자들이란 에너지의 묶음으로 현재 와서는 광자라고 불린다. 아인슈타인은 물리학자 막스 플랑크가 공동 복사(Cavity radiation)를 분석한 결과에 영향을 받아 광자가 다음과 같은 에너지를 갖고 있다고 제안했다.

E = h \nu
여기서 \nu는 빛의 주파수이고 상수 h는 기초 상수인 플랑크 상수이다. 그 값은 6.63 \times 10^{-34} \rm~J \cdot s이다. 광전효과에서 광자는 깨끗한 금속 표면에 충돌한다. 금속에서는 전자가 분출된다. 이 전자는 광전자라고 한다.

참고 자료 (Following Creative Commons Attribution, ShareAlike license)

http://en.wikipedia.org/wiki/Photoelectric_effect
http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
http://en.wikipedia.org/wiki/Light
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant
http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_field
http://en.wikipedia.org/wiki/Black_body

일반적인 2차 방정식, 한 줄 수식 태그 tex를 사용했습니다.

 a x^2 + b x + c = 0
일반적인 유리수의 형태. 한 줄 수식 태그를 사용했습니다.

 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0 )

분수니까 여러 줄 수식 태그 texeq도 시험해 보았습니다.
 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0)(p and q are coprime.)

다음은 일반적인 타원의 방정식. a와 b가 같으면 원의 방정식이 됩니다.
 
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

수식 스크립트를 넣고자 참고한 글

http://adexam.textcube.com/entry/math-formula-in-blog

Unit circle 단위원으로 주로 번역한다. 데카르트좌표계(Cartesian Coordinate)라면 x^2+y^2=1, 극좌표계(Polar Coordinate)라면 r=1로 표현되는 그 단위원이다. 복소 평면에서는 z=r exp(i theta) = cos theta + i sin theta.

Definnite Integral에서 Talyor(McLaurin) Series Expansion으로 Cancellation이 되지 않는 Singularity가 있는 복잡한 삼각함수 형태를 적분해야 할 때(즉, 치환, *1하기, 삼각함수 항등식 등이 잘 안먹힐 때) Residue Theorem(Laurent Series Expansion참고)이 쓰인다. 앞에서 삼각함수를 z로 치환하면 변수가 하나로 통일되어서 대수가 간단해진다. 치환하면 Complex plane으로 오게 되므로 그 전에 Cauchy-Riemann Condition이 성립하는지 확인해야 한다. 이 조건이 성립하는 함수는 복소 평면에서 Analytic하다고 본다. 예를 들어 conjugate of z (z star)같은 함수의 경우 모든 평면에서 연속이지만 Caucy-Riemann Condition이 성립하지 않기 때문에 Cauchy Integral을 사용할 수 없다. 다른 경우에는 Cauchy Integral을 적용하면 된다.

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