11월 28일 오후 5시 24분부터 문제와 풀이를 PDF파일로 대한수학회에서 제공하고 있으니, 참고하시길 바랍니다.
작년 11월 3일에는 28동에서 봐서 서울대 농대 앞에 내려서 상산수리과학관 쪽으로 꺾으면 바로 있었는데 올해 11월 15일 43동 찾으려다 43-1동에서 길을 잃었다. 겨우 찾아서 시험을 보았다. 이번에는 문제를 1차는 노란색, 2차는 녹색 색지에 인쇄해 주었다. 1차는 총 8문제, 2차는 총 5문제이다.
면책사항: 아래 풀이가 정확하지 않을 지도 모릅니다.
1-1. 꼭지점 좌표 네 개 주고 사면체 부피 구하는 문제, 작년에 꼭지넘 좌표 네 개 주고 사각형 넓이 구하는 문제와 유사했다. 점 A, B, C, D로 두고 삼각형 ABC 면적 구한 후, 점 A와 B와 C가 지나는 평면의 법선벡터를 구해서 이 법선벡터가 D를 지날 때 삼각형 ABC 평면과 만나는 점을 N이라고 두었다. AD 벡터와 ND벡터의 코사인각을 내적을 통해 구하면 각 AND가 수직이니까, 각 ADN의 사인값이 되어서 이 사인값이 AD 크기를 곱하면 ABC에 대한 사면체의 높이가 된다.
1-2. 적분표 생각만 나고 아무 생각도 안났다. 평균값 정리를 생각해 내는 재치가 있어야 했는데.
1-3. 역시 아무것도 생각안남. 치환 적분이란 걸 떠 올렸어야 했다. cos 안에 식이 복잡하다고 겁먹은 게 문제.
1-4. 적분값의 존재 증명 문제. 포기.
1-5. 대입해서 구했다. 그냥 2차 정사각 행렬 각 원소를 abcd로 놓고 대입해서 열심히 미지수가 네개인 연립방정식 풀었더니 나왔다. 제곱항 제거하느라 애좀 먹었다.
a_{11}=(1+sqrt{3})/2, a_{12}=(1-sqrt{3}/2)
a_{21}=a_{12}. a_{22}= a_{11}
A행렬의 각 원소는 위와 같다.
1-6. 제일 쉬웠다. 혹시 뭐 함정있나 파헤치다가 시간 낭비했던 문제.
답은 f(x,y,z) = e^{xy+yz} + C (C는 상수)
1-7. 못 풀었다. xy항이 있는 2차 함수니까 적절하게 회전시켜서 반지름 1인 원과의 접선을 구하면 풀릴 것 같은데,
시간도 없고 변환 방법도 기억이 잘 안났다.
1-8. u와 v의 transpose에 각 원소를 넣고 대입해서 풀었다.
u=(a,b,c)이고 v=(d,e,f)라 한다.
d=(5/2)e, f=(3/2)e, b=3a. c=2a라는 관계가 성립하고
이 때 ae=2를 만족하는 어떤 행렬이든 문제를 만족하는 u,v 행렬 집합에 속한다.
2-1. 역행렬 비존재 증명 문제인데, 포기했다. 나중에 집에서 찾아보니 minor 행렬을 찾아서 판별식이 0이므로 한 열의 모든 원소를 합한 값이 0인 행렬이 singular하다는 쪽으로 끌고 갔어야 할 것 같으나 확신은 못하겠다. 시험 볼 때에는 n by n 행렬에 1 by n 미지수 x_{i} (i는 1부터 n까지)를 원소로 갖는 행렬을 곱하고 그 옆에는 임의의 상수를 값으로는 1 by n 행렬을 가정한다음에 주어진 행렬 A가 역행렬이 있다면 미지수는 항상 X=A^{-1}C이므로라고 논리를 끌고가다가 시간이 없어서 다 못썼다.
2-2. b 조건에서 양변에 극한 적용해서 phi함수열에서 phi라는 함수문제로 변환한 후 양변 미분에서 미분방정식으로 풀었다.
\phi(t)= (4/5)sin(t/2) + (2/5)cos(t/2)
2-3. 단계별로 네 조건을 적용하니까 답에 가까워졌다.
x와 y로 같은 함수를 각각 편미분한 합이 0이니 u는 x와 y에 관한 2차함수이다. 그래서 무작정 x와 y에 관한 일반함수를 a부터 f까지 계수를 두고 가정한다음 x에 대한 항등식 조거에 의해 필요없는 변수를 제거해 나갔다.
u(x,y) = 3bx^{2} - sqrt{3}bxy (b>0인 실수)
2-4 생성함수를 떠올리게 하는 문제였다. 증명 문제라서 일단 a_{n}이 0이나 1이므로, 모두 1이라 가정해서 최대값 1/(1-x)을 구한 뒤 만일 a_{n+p}=a_{n}이 성립하지 않는데 합이 P가 Q보다 찾은 P(x)/Q(x)를 제시하면서 증명을 마치기는 했는데 근거가 부족했다고 생각한다. 대학생 수학 경시대회 3번에 유사한 문제가 있었나보다. 2진법 순환소수로도 푸는 법이 있군요.
수학 갤러리
2-5. 함수 근사 문제. 오리진에서는 버튼 하나면 끝나는 일이 손으로 계산하려니 막막했다. 네 개의 자료를 직접 오차 제곱 식에 대입해서 합한 다음에 a와 b에 관한 완전 제곱꼴로 변형해서 오차를 최소로 하는 값을 구했다. y=ax+b에서 a=27/26, b=2로 나왔다. 더 우아하게 구하거나 아니면 더 나은 값을 찾는 다른 방법이 있을 것이라 추측한다.
