9, 5, 2와 사칙연산 등 수식으로 90, 63, 23, 56, 19, 25, 24, 16, 21, 7을 각 만드는 방법


5C2 x 9 = 90

(5+2) x 9 = 63

{ sigma(i=2부터 5까지) i } + 9 =25_9(진법)= 23

integral(5부터 9까지)2x dx = 56

9+5C2 = sigma(i=9부터 2x5까지) i = 19

5^2 = 25

5H2 + 9 = pi(i=2부터 9-5까지) i = sigma(i=2+5부터 9까지) i = 24

5^2 - 9 = 16

root9 x (5-2) = 21

2x5 - root9 = 7


관련 이벤트(이미 기간 종료): https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=906744529372258&id=165531776826874&refid=17&_ft_=top_level_post_id.906744529372258 9

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Posted by 세레

 

유쾌한 교수의 무한론 강의를 듣는 세미와 주인공의 이야기를 다룬 소설이다. 가무한과 실무한, 칸토어의 대각선 논증, 괴델의 불완전성 논리 등을 쉽게 이야기하고 있다. 저런 강의가 한번 학교에 개설되서, 직접 들을 수 있었으면 좋겠다는 아쉬움을 느꼈다.

수학걸처럼 소설의 형식을 빌려 내용을 설명하는 교양 과학서이다. 수학에 관심만 있다면 재미있게 읽을 수 있다. 저자는 철학 교수이지만 증명이나 집합론 같이 수학에도 해박한 것 같다.
무한론교실
카테고리 과학 > 교양과학 > 교양수학/수학이야기
지은이 노야 시게키 (뿌리와이파리, 2003년)
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Posted by 세레

 

통계적 자료로 오해하고 호도되기 쉬운 부분을 여러 분류로 해서 잘 짚은 책이다. 인구 빈도*(100명 중 몇 명)보다 퍼센트**가 언론에서 더 자주 쓰이는 이유는 무엇인지, 누가 그런 통계로 이익을 보는지 설명했다. 월급의 평균 소득도, 상위 몇 퍼센트가 평균을 왕창 올려 놓기 때문에, 그 평균은 체감하는 사람들의 소득보다 높게 책정되는 것이라고 나와 있다. 상식을 깨는 결과가 많아서 유익했다.
* 책에는 인구 진동수라고 했던 것 같은데 frequency의 오역인 것 같다.
** 책에는 퍼센트 대신 퍼센타일(percentile)이라는 표현을 사용.
왜내월급은항상평균보다적은걸까통찰에깊이를더하는똑똑한통계독해?
카테고리 인문 > 인문교양문고 > 인문교양문고기타
지은이 앤드류 딜노트 (21세기북스, 2009년)
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조합론, 파국 이론*, 위상수학, 게임이론 등 17 가지 수학적 주제를 단편으로 다루고 있다. 책 자체도 그리 두껍지 않아서 하루만에 읽었다. 칸토어의 집합론과 콘웨이의 공집합 이야기가 특히 기억에 남는다. 칸토어의 이야기는 '무한의 신비'라는 책에서 들었지만, 다른 사람이 구체화하지 못한 상상을 한 것이 정말 천재적이고, 그로 인해 병을 얻은게 너무나 가엾었다. 다른 경문 수학 산책 시리즈도 이참에 읽어볼 작정이다.

217쪽에 NP(non-polynomial) 비다항식이라고 설명하는 부분이 나오는데 Non-deterministic Polynomial(비결정성 다항식)의 오탈자인 것 같다. 그 장이 P와 NP에 대해서 다루고 있기 때문인데, 계산 복잡도 이론에 대해서 aistudy의 Computation Complexity Theory(한글)라는 문서가 잘 소개하고 있다.

*책에 의하면 카타스토로피 이론이라고 하지만 catastrophe의 발음기호(Google 사전)와 외래어표기법을 고려할 때 커태스트러피 이론이라고 쓰는 게 맞다.
인간적인너무나인간적인수학(경문수학산책9)
카테고리 과학 > 수학 > 기초수학
지은이 MICHAEL GUILLEN (경문사, 1998년)
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Posted by 세레

 

스위스 신문에 연재되었던 수학 칼럼을 엮어 펴낸 책이다. 윤년에 관한 이야기가 복잡하지만, 신기했다. 단편으로 되어 있어서, 이야기 전후에 관계가 별로 없다. (푸앵카레의 추측은 예외이다. 아마 그 추측에 대해 쓰고, 시간이 흘러 그레고리 페렐만에 의해 해결되었기 때문인 것 같다. )잠깐씩 읽기에 좋았다.

우리나라에서는 월간지에는 과학동아, 뉴턴, Popular Science 등이 교양 과학을 주제로 다루고 있다. 일간지에서도 교양 과학이나 수학 연재를 꾸준히 하는지 모르겠지만, 그렇게 하고 있다면 정말 다행이고, 읽어 보고 싶다.
수학의사생활수학자들의일과생각에관한아주쉬운이야기들
카테고리 과학 > 교양과학 > 교양수학/수학이야기
지은이 조지 G. 슈피로 (까치, 2008년)
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경문수학산책 시리즈의 2번째 책이다. 이 책은 현대 수학의 중요한 발견들을 선택하여 대중에게 소개하기 위해 쓰인 책이다. 다른 교양 수학 책의 경우 아주 고전 수학자들의 이야기를 다루거나(가우스, 오일러, 라이프니츠 등), 잘 알려진 미해결 문제들(리만가설, 푸앵카레의 추측, 페르마의 마지막 정리, 골드바흐의 추측 등)을 다루는 게 다수이다. 

이 책에서는 매듭론, 군론 , class number 등 이전에 잘 다뤄지지 않은 과거 25년 간의 수학적 발견을 다루고 있다. 물론 한 권의 책에 다양한 수학 주제를 포괄하려다 보니 세부적인 내용은 생략되었지만, 수학적 지식이 정말 빨리 팽창한다고 느꼈다. 과거 공리를 바탕으로 증명된 명제들을 이용하기 때문에, 수학자들은 그에 매력을 느끼는 것 같다.
수학:새로운황금시대(경문수학산책2)
카테고리 과학 > 수학 > 수학일반 > 수학이론/수학철학
지은이 KEITH DEVLIN (경문사, 1999년)
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푸앵카레의 추측에 이어, 푸앵카레에 대한 다른 수학 교양 도서가 번역되어 나왔습니다. 신기한 것은 푸앵카레의 추측과 이번에 읽은 책의 번역자가 같은 사실인데요. 정말 기이한 우연이네요. 전자가 수학적 사실에 초점을 맞추었다면 이 책은 푸앵카레와 그 주변 인물과의 사건, 역사에 더 비중을 두었습니다. 그래서 개념이 난해하기 보다는 이야기를 따라가면 돼서, 훨씬 더 읽기가 수월했습니다.

순수수학 단행본 교양도서를 서점에서 살펴보면 정말 그 주제가 한정되고, 수도 적어서 아쉬웠습니다, 페렐만이 푸앵카레의 추측을 해결한 덕분에, 정수론 말고 위상수학과 관련된 교양 도서를 읽을 수 있어 정말 기쁩니다. 페렐만의 성취는 한 번에 이루어진 것이 아니라, 틈틈이 습작으로 갈고 닦은 실력을 바탕으로 이루어진 노력의 결과라고 생각합니다. 페렐만의 필드상 거부는 수학계의 자성을 촉구하는 무언의 표현이라고 합니다. 아직 미해결된 수학의 밀레니엄 문제들도 해결되는 날을 볼 수 있기를 희망해 봅니다. 
푸앵카레가묻고페렐만이답하다푸앵카레상을향한100년의도전과기이한
카테고리 과학 > 수학 > 수학일반 > 수학사
지은이 조지 G. 슈피로 (도솔, 2009년)
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무한 공간의 왕은 기하학자 도널드 콕세터의 이야기를 다루고 있다. 그는 초다면체(폴리토프, Polytope)를 연구하였는데, 초다면체란 3차원 이상의 차원(n차원, n=4, 5, 6...)에서의 기하학적 모양에 관한 것이다. 일반적인 수의 차원에 대해서 다루고 있기 때문에, 기하학적 직관이 없으면 3차원 보다 큰 차원을 어떻게 다루어야 할지 막막하지 않을까 생각했다. 

다른 사람들의 고전 기하학에 실망하여 등을 돌렸을 때, 비유클리드 기하학과 초다면체 등을 연구하면서 꾸준히 계속 업적을 남길 수 있었던 재능과 근면함이 부러웠다. 콕세터는 여러 거울을 이어 붙여 만든 망원경으로 고차원의 다면체를 3차원 이하의 차원으로 사상하고자 했다. 나중에 그는 콕세터 도식이라는 매우 독창적이면서 간결한 초다면체 표기법을 만들었는데, 정보가 이렇게까지 압축될 수도 있구나 싶었다. 앞으로 다른 수학자들도 이렇게 소개되어서, 그들의 수학적 업적과 함께 인간적 면모도 함께 알아갈 수 있는 책이 많아졌으면 좋겠다.
무한공간의왕도널드콕세터기하학을구한사나이
카테고리 과학 > 수학 > 기하학
지은이 시오반 로버츠 (승산, 2009년)
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Posted by 세레

실수체

2010.06.18 00:21

 

실수체(real field)   
존재 정리를 확인한다.

1. 정리: 순서체(ordered field) R에서 최소상계성(least-upper-bound property)이 있다. 더욱이 R은 Q(유리수체)를 부분집합으로 포함한다.
두번째 문장은 Q \subset R과 R에서의 덧셈, 곱셈 연산이 Q의 원소에 적용될 때, 유리수에서의 일반 연산과 일치하고, 양의 유리수는 R에서 양의 원소라는 것을 의미한다.R의 원소는 실수라고 부른다.

정리의 증명은 길고 약간 지겹기 때문에 나중에 설명한다. 사실, 증명은 Q에서 R을 구성한다. 다음 정리는 아주 약간의 노력만 더 해서 얻을 수 있다. 그러나 정리 1. 에서 유도하는 편이 더 낫다. 왜냐하면 이 유도가 최소상계성으로 할 수 있는 좋은 예시가 되기 때문이다.

2. 정리
(가)x \in R,y \in R,x > 0일 때 nx > y를 만족하는 양의 정수가 있다.
(나)x \in R,y \in R, x< p < y를 만족하는 p \in Q가 존재한다.
(가)는 R의 아르키메데스 성질(archimedean property)을 나타낸다. (나)는 Q가 R에서 조밀(dense)하다고 함으로써 나타낼 수 있다. 즉 어떤 두 실수 사이에 유리수 원소가 있다.
증명
(가) A가 모든 nx의 집합이라고 하자. n은 양의 정수이다. (가)가 거짓이라면, y는 A의 상계가 딜 것이다. 그러나 A가 R에서 최소상계를 갖는다. \alpha = sup A라고 둔다. x > 0, \alpha - x < \alpha이기 때문에 \alpha - x는 A의 상계가 아니다. 어떤 정수 m에 대해 \alpha - x < mx이다. 그러나 \alpha < (m+1)x \in A이고 \alpha가 A의 상계이므로 불가능하다.
(나) x < y이기 때문에 y - x > 0이고 (가)에서 n(y - x) > 1처럼 양의 정수 n을 내놓는다. m_{1}>nx, m_{2}>-nx를 만족하는 양의 정수 m_{1}, m_{2}를 얻고자 (가)를 다시 적용한다. 그러면 -m_{2} < nx < m_{1}이다. 따라서 -m_{2} < m < m_{1}에서 m-1 < nx < m을 만족하는 정수 m이 있다. 두 부등식을 합치면, 우리는 다음 식을 얻는다. nx < m \le 1+nx < ny. n > 0이기 때문에, 다음 식이 성립한다.
x< \frac{m}{n} < y
이것은 (나)를 p = m/n으로 증명한다.

양의 실수에서 n번 째 근을 증명할 것이다. 이 증명은 R에서 다룰 수 있는 \sqrt{2}의 무리수성(irrationality)의 어려움을 어떻게 지적하는지 보여줄 것이다. 유리수와 무리수를 포함하는 실수에 대한 자세한 설명은 다음 링크를 참조한다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

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Posted by 세레

 

아인슈타인의 우주와 마찬가지로 GREAT DISCOVERIES 시리즈에 포함된다. '괴델의 불완전성 정리'로 유명한 수리논리학자 괴델은 어떤 공리계에서 참인지 거짓인지 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것을 증명함으로써, 수학의 공리계에 대한 본질적 한계를 밝혀낸 것으로 유명하다. 칸토어의 연속체 가설이나, 골드바흐의 추측('사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학천재 이야기'라는 책을 읽으면 좋다.) 등의 명제가 '참인지 거짓인지 현 공리계 내에서 증명할 수 없는 명제'일 수도 있다는 논란이 있다.

인간의 추상화에 대한 집념은 정말 대단한 것 같아서, 이런 업적들을 볼 때 단번에 쉽게 이해할 수 없기 때문에, 경외심을 느끼게 하는 면도 있다. 그는 원래 물리학을 공부하다가, 수론 때문에 수학을 공부하다가, 수리논리학을 연구하게 되었다고 한다. 그런 그의 진로가 내가 지금 하고 있는 고민과 일치하는 것 같아서, 앞으로 나아갈 방향에 참고할 수 있을 것 같다. 비슷한 부류의 교양 도서들이 많이 나와서, 사람들이 수학이나 물리에 대해 좀 더 친근해질 수 있는 계기가 되엇으면 좋겠다.

책을 읽으면서 좀 불편했던 부분을 정리하면
  1. 본문에 포함된 주석의 양이 너무 많아서 읽기에 산만했다. 어떤 주석은 본문의 절반을 차지하기도 했는데, 주석이 그렇게 중요한 내용이었다면 지은이가 본문에 포함했을 것이다. (본문의 오류를 지적하는 옮긴이주는 본문에 포함되어서 차라리 나았다.) 주석을 읽으려면 본문을 읽다가 주석 읽고 다시 원래 자리로 찾아 돌아가서 읽어야 되는데 그렇게 하면 흐름이 끊기고, 막상 주석이 본문의 줄거리와 크게 관련 없는 사소한 내용일 경우에는 실망만 커진다. 차라리 그 주석들을 전부 각 장의 뒤나, 아니면 책의 맨 뒤 부록으로 뺐으면 좋겠다.
  2. 일부 어려운 개념이나, 인명 옆에 원문을 작은 글씨로 병기했다. 이 영문 부분도 새로운 정보를 주기 보다는 읽기에 걸리적 거리니깐 뒤에 찾아보기 부분에 같이 병기하는 편이 낫다고 본다. 그렇게 하면 관련 자료를 서로 참조할 때 굳이 본문에 일일이 원문을 표시해 주지 않아도 불편하지 않을 것이다. 

불완전성 : 쿠르트 괴델의 증명과 역설
카테고리 과학
지은이 레베카 골드스타인 (승산, 2007년)
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Posted by 세레

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