The note of Legendre

실수체(real field)   
존재 정리를 확인한다.

1. 정리: 순서체(ordered field) R에서 최소상계성(least-upper-bound property)이 있다. 더욱이 R은 Q(유리수체)를 부분집합으로 포함한다.
두번째 문장은 Q \subset R과 R에서의 덧셈, 곱셈 연산이 Q의 원소에 적용될 때, 유리수에서의 일반 연산과 일치하고, 양의 유리수는 R에서 양의 원소라는 것을 의미한다.R의 원소는 실수라고 부른다.

정리의 증명은 길고 약간 지겹기 때문에 나중에 설명한다. 사실, 증명은 Q에서 R을 구성한다. 다음 정리는 아주 약간의 노력만 더 해서 얻을 수 있다. 그러나 정리 1. 에서 유도하는 편이 더 낫다. 왜냐하면 이 유도가 최소상계성으로 할 수 있는 좋은 예시가 되기 때문이다.

2. 정리
(가)x \in R,y \in R,x > 0일 때 nx > y를 만족하는 양의 정수가 있다.
(나)x \in R,y \in R, x< p < y를 만족하는 p \in Q가 존재한다.
(가)는 R의 아르키메데스 성질(archimedean property)을 나타낸다. (나)는 Q가 R에서 조밀(dense)하다고 함으로써 나타낼 수 있다. 즉 어떤 두 실수 사이에 유리수 원소가 있다.
증명
(가) A가 모든 nx의 집합이라고 하자. n은 양의 정수이다. (가)가 거짓이라면, y는 A의 상계가 딜 것이다. 그러나 A가 R에서 최소상계를 갖는다. \alpha = sup A라고 둔다. x > 0, \alpha - x < \alpha이기 때문에 \alpha - x는 A의 상계가 아니다. 어떤 정수 m에 대해 \alpha - x < mx이다. 그러나 \alpha < (m+1)x \in A이고 \alpha가 A의 상계이므로 불가능하다.
(나) x < y이기 때문에 y - x > 0이고 (가)에서 n(y - x) > 1처럼 양의 정수 n을 내놓는다. m_{1}>nx, m_{2}>-nx를 만족하는 양의 정수 m_{1}, m_{2}를 얻고자 (가)를 다시 적용한다. 그러면 -m_{2} < nx < m_{1}이다. 따라서 -m_{2} < m < m_{1}에서 m-1 < nx < m을 만족하는 정수 m이 있다. 두 부등식을 합치면, 우리는 다음 식을 얻는다. nx < m \le 1+nx < ny. n > 0이기 때문에, 다음 식이 성립한다.
x< \frac{m}{n} < y
이것은 (나)를 p = m/n으로 증명한다.

양의 실수에서 n번 째 근을 증명할 것이다. 이 증명은 R에서 다룰 수 있는 \sqrt{2}의 무리수성(irrationality)의 어려움을 어떻게 지적하는지 보여줄 것이다. 유리수와 무리수를 포함하는 실수에 대한 자세한 설명은 다음 링크를 참조한다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number