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Mathematical Physics 2

세레 2007. 9. 6. 22:37

2007. 9. 6. 22:37

Recapitulation

- Vector space V (to axioms)

- basis

- inner product $<\vec{v},\vec{u}>$

- dot product VV->k

-cross product VV->V

$\vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ C_{x} & C_{y} & C_{z} \end{vmatrix} = \left | \vec{B} \right \vert \left | \vec{C} \right \vert \sin \theta_{k} \hat{n}$

$dt \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc$
$dt \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} =aei+dhc+bfy-(ceg+bdi+hfa)$

diagonal하게 생각하면, 기억하기 쉽다.

geometrical meaning of $\vec{B} \times \vec{C}$

벡터 B가 x축 위에 누워있고, 벡터 C가 xy평면의 1사분면 중 어느 점을 가리키고 있는 상황이다.
벡터 B와 벡터 C 사이의 각은 $θ B C$ 이다.

$\vec{B}=B \hat{e_{1}}$ $\vec{C}=C \cos \theta_{BC} \hat{e_{1}} + C \sin \theta_{BC} \hat{e_{2}}$ $\Rightarrow \vec{B} \times \vec{C} = BC \cos \theta_{BC} \hat{e_{1}} \times \hat{e_{1}} + BC \sin \theta_{BC} \hat{e_{1}} \times \hat{e_{2}}$ $=BC \sin \theta_{BC} \hat{e_{3}}$

$\hat{e_{1}} \times \hat{e_{1}} = \begin{vmatrix} \hat{e_{1}} & \hat{e_{2}} & \hat{e_{3}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} =0$

$\hat{e_{1}} \times \hat{e_{2}} = \begin{vmatrix} \hat{e_{1}} & \hat{e_{2}} & \hat{e_{3}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{e_{3}}$

$\hat{e_{1}} \times \hat{e_{2}} = \hat{e_{3}}; \hat{e_{2}} \times \hat{e_{3}} = -\hat{e_{1}}; \hat{e_{3}} \times \hat{e_{1}} = \hat{e_{2}}$ $\hat{e_{2}} \times \hat{e_{1}} = -\hat{e_{3}}; \hat{e_{3}} \times \hat{e_{2}} = -\hat{e_{1}}; \hat{e_{3}} \times \hat{e_{1}} = -\hat{e_{2}}$

$\vec{A} \times \vec{B} = - \left( \vec{B} \times \vec{A} \right)$

순서를 바꾸면 negation이 되는 이유

$\begin{vmatrix} \hat{e_{1}} & \hat{e_{2}} & \hat{e_{3}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} \hat{e_{1}} & \hat{e_{2}} & \hat{e_{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

triple scalar product

$\vec{A} \cdot \left( \vec{B} \times \vec{C} \right)$

$\left | \vec{A} \right \vert \underbrace{\left | \vec{B} \right \vert \left | \vec{C} \right \vert \sin \theta_{BC}}_{area} \cos \beta$

geometrical meaning: volume of pipe

triple cross product

$\vec{A} \times \left( \vec{B} \times \vec{C} \right) \ne \left( \vec{A} \times \vec{B} \right) \times \vec{C}$ VVV->V $\vec{A} \times \left( \vec{B} \times \vec{C} \right) = -\vec{C} \times \left( \vec{A} \times \vec{B} \right) = \vec{C} \times \left( \vec{B} \times \vec{A} \right)$ $\vec{A} \times \left( \vec{B} \times \vec{C} \right) = \vec{B} \left( \vec{A} \cdot \vec{C} \right) -\vec{C} \left( \vec{A} - \vec{B} \right)$

Levi-civita symbol

ε i j k

http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol

$ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1$ $ε 132 = ε 213 = ε 321 = - 1$

나란히 있는 두 숫자의 순서가 바뀌면 1의 부호가 바뀐다라고 생각하면 쉬움. $\epsilon_{122}=\epsilon_{233}=\epsilon_{113}= \cdots =0$

같은 숫자가 두개 있으면 0이라고 생각하기.

& Any permutations of two indices will introduce "-" sign

Usefulness of $ε i j k$

$\hat{e_{i}} \times \hat{e_{j}} = \sum_{k} \epsilon_{ijk} \hat{e_{k}}$ where i,j,k=1,2,3

eg.

$\hat{e_{1}} \times \hat{e_{2}} = \sum_{k} \epsilon_{12k}\hat{e_{k}}=\underbrace{\epsilon_{123}}_{1}$

Another useful symbol: Kronedeker delta

http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta

http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html

$\delta_{ij} = \begin{cases} 0, & \mbox{if }i \ne j \\ 1, & \mbox{if }i=j \end{cases}$

eg. (m & n are dummy indices)

$\vec{B} \times \vec{C} = \left( \sum_{m=1}^{3} B_{m} \hat{e_{m}} \right) \times \left( \sum_{n=1}^{3} C_{n} \hat{e_{n}} \right)$

$= \sum_{m, n} B_{m}C_{n} \underbrace{\left( \hat{e_{m}} \times \hat{e_{n}} \right)}_{\sum_{j} \epsilon_{mnj} \hat{e_{j}}}$

$=\sum_{m,n,j} B_{m}C_{n} \epsilon_{mnj} \hat{e_{j}}$

jth component

∑	B_mC_nε_mnj
m,n

∑	B_mC_nε_mn1
m,n

$= B 2 C 3 - B 3 C 2$

$\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{mnk} \epsilon_{ijk} = \delta_{mi} \delta_{nj} - \delta_{mj} \delta_{ni}$

∑	ε_mjkε_njk = 2δ_mn
j,k

$\sum_{i,j,k} \epsilon_{ijk}^{2}=6$

eg 2. (Einstein convention - sum을 나타내는 sigma 기호 생략)

$\vec{A} \times \left( \vec{B} \times \vec{C} \right)$

$= \left \{ \left( A_{i} \hat{e_{i}} \right) \times \left \{ \vec{B} \times \vec{C} \right \}_{j} \hat{e_{j}} \right \}$

$= A_{i} \underbrace{\left( \vec{B} \times \vec{C} \right)_{j}}_{B_{m}C_{n} \epsilon_{mnj}} \underbrace{\hat{e_{i}} \times \hat{e_{j}}}_{\sum_{k} \underbrace{\epsilon_{ijk}}_{-\epsilon_{ikj}} \hat{e_{k}}}$

$=-A_{i}B_{m}C_{n} \underbrace{\epsilon_{mnj} \epsilon_{ikj}}_{\delta_{mi} \delta_{nk} - \delta_{mk} \delta_{ni}} \hat{e_{k}}$

$=-A_{i}B_{m}C_{n} \delta_{mi} \delta_{nk} \hat{e_{k}} + A_{i}B_{m}C_{n} \delta_{mk} \delta_{ni} \hat{e_{k}}$ $=-A_{m}B_{m}C_{n} \delta_{nk} \hat{e_{k}} + A_{i}B_{k}C_{n} \delta_{ni} \hat{e_{k}}$ $=-A_{m}B_{m}C_{n} \hat{e_{n}} + A_{n}B_{k}C_{n} \hat{e_{k}}$ $=-\left( \vec{A} \cdot \vec{B} \right) \vec{C} + \left( \vec{A} \cdot \vec{C} \right) \vec{B}$

gradient operator

$\nabla \phi \left( x,y \right)$

$=\frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{e_{x}} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{e_{y}}$

$d \phi \left( x,y \right) = \frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy = \nabla \phi \cdot d \vec{r}$ -(1)

여기서 $d \vec{r} = dx \hat{e_{x}} + dy \hat{e_{y}}$

식 (1)이 최대가 되려면 $\cos \theta \left | \nabla \phi \right \vert \left | d \vec{r} \right \vert$ 에서 maximum at $θ = 0$

$θ$ 는 $d \vec{r}$ 벡터와 $\nabla \phi$ 벡터 사이의 각

이휘소 평전을 읽었습니다.

세레 2007. 8. 3. 13:48

2007. 8. 3. 13:48

이휘소 평전 책 표지

이휘소라는 분에 대해 가장 사실적으로 저술했다고 알려진 "이휘소 평전"이라는 책을 빌려 읽었습니다. 목표에 대한 실천력과 집중력이 대단하신 분이라고 생각합니다. 만일 그 때 불운의 사고가 일어나지 않았다면 대한민국이 국제 사회에서 차지하는 과학에 대한 비중이 어떻게 바뀌었을지 상상이 안 됩니다. 물리학도를 꿈꾸는 많은 사람들과, 이휘소라는 분을 소설로만 접해보신 분에게 좋은 도서라고 생각합니다.

이휘소 평전 상세보기

강주상 지음 | 럭스미디어 펴냄

이휘소의 유일한 한국인 제자가 공개한 이휘소의 삶! 비운의 교통사고로 생을 마감한 지 30년이 된 현재까지도 한국이 배출한 가장 유명한 이론물리학자로 평가되는 이휘소 박사. 그는 소립자물리학의 새로운 이론을 끊임없이 개척했던 세계 정상급의 이론가였다. 이휘소의 유일한 한국인 제자인 강주상 교수가 옆에서 지켜본 이휘소를 생생하게 공개한다. 『이휘소 평전』은 세계적인 물리학자 이휘소 박사의 면면을 저자는

친구와의 대화

세레 2006. 12. 8. 01:50

2006. 12. 8. 01:50

물리 자율 연습을 마치고(의무는 아니었음) 제 친구 c모군과 나오면서 이야기를 했습니다.
내일이 물리 시험인지라, 정상적인 대화가 오가지 않았...

일단 건물을 나오면 지하철 역으로 가기 위해 꽤 높은 계단을 올라야 합니다

'우리는 유한한 퍼텐셜 우물에 갇혀 있어.'

'계단의 길이가 유한하기에 우리가 계단 바깥으로 터널링할 확률은 0이 아니지.'

'우리는 그러면 터널링을 하기위해 에너지를 갖고 움직이는 전자로군.'

'우리의 투과 곁수는 exponential -2bL이야'

'여기서 b는 root h제곱 분에 8 pi제곱 m UB-E지' (이 대목을 거의 동시에 말했음.. --;;)

계단을 올라간 후 유익한 대화 거리를 위해 간섭과 에돌이(회절)을 꺼냈습니다.

'그냥 간섭무늬의 세기 I는 4I0 코사인 2분의 1 phi 제곱이군'

'여기서 phi는 람다분의 2pi d 사인 쎄타'

'우리 이렇게 대화하니까 뭔가 있어 보이지 않냐?'

'그러게.. 사실 별로 알지도 못하지만..'

물리 공부는 저를 자꾸 세상에서 멀어지게 합니다. 파동이 시험 범위인데, 간섭일 경우 중앙 극대를 묵시적으로 0번째 극대라 함은 trivial합니다. 그런데 그 옆의 극소가 0번째 무늬인지는 non-trivial합니다. 이걸로 조교님과 학생들간의 많은 고민과 갈등 일어났고, 많은 시간이 소요되었습니다. '결국 m은 몇인 극대(혹은 극소)입니다.'라고 쓰는게 오해를 줄일 수 있는 좋은 방법이라는 결론을 유추했습니다. 참 어려운 세상입니다.

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The note of Legendre