The note of Legendre

유키 히로시가 지은 수학걸(제일 아래 책)의 두번째 시리즈이다. 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 영문 자료 Wolfram Research)를 다루고 있다. 첫 장부터 마지막 전 장까지는 페르마의 마지막 정리를 알기 위해 필요한 기본적인 대수, 수론, 기하, 군론 등의 내용이 담겨 있다. 마지막 장에는 페르마의 마지막 정리를 해결하기 위해 어떤 주요 개념이 쓰였는지, 어떻게 귀류법을 적용했는지 간략하게 나와 있다.

표시함수(Inidcator function)을 

리만가설로 국내에 번역된 책의 원작자 존 더비셔의 다른 수학 교양 도서이다. 이 책은 미지수라는 것이 왜 등장했는지, 미지수의 표기법은 과거에는 어떤 모습이었으며, 현재에 널리 쓰는 모양은 어디에서 비롯된 것인지, 왜 하필 x인지 등을 다루고 있다. 아무래도 미지수라는 내용을 다루다 보니 방정식과 같은 대수적 내용이 빠질 수 없는 것 같다. 

승산에서 나온 수학 교양도서로 줄리언 해빌이 지었다. 아무래도 이런 수학 관련 교양 도서의 예상 독자로는 일반인이나 학생들이 되겠지만, 공통적으로 어느 정도 수학에 관심과 호기심이 있는 사람을 대상으로 한다는 점에서 크게 차이는 없을 것이다. 그런 대부분읙 경우에는 정규 교과과정에서 수학을 배우거나, 혹은 개인적으로 책을 찾아가면서 수학 공부를 해 본 사람들이 많을 것이다.

네이피어 상수 e나 허수 i, 원주율 pi를 다룬 책은 많이 봤어도 오일러 상수 gamma를 다룬 국내 책은 처음이고 해서 낯설지만 흥미롭게 읽었다. 내용 자체도 너무 무거운 주제가 아니지만 그렇다고 아주 인기 있는 주제가 아니라서 딱 적절한 목표로 쓰인 책이라는 생각이 들었다. 다만, 아쉬운 점이 있다면 수학 용어나 수학자들의 이름이 다른 책들의 표기와 달라 낯설고 다른 자료를 참조하기가 어렵다는 것이다. 

이를테면 61족의 improper integral을 변칙적분이라고 번역했다. 대한수학회 수학용어나 국가지정 수리과학연구정보센터 수학학술용어집에서 검색해보면 이상적분, 넓은 의미의 적분이라고 했지 변칙적분이라는 말은 용례에 없다. 또한 63 쪽의 Chebyshev를 체비셰프라고 했는데 외래어 한글상호변환기에서 정부 언론 외래어공동심의위원회의 한글표기 심의결정을 검색해보면 체비쇼프라고 한다. 67쪽에는 erdos를 에어디시라고 했는데 국립국어원 외래어표기법 제2장 표기일람표의 표10 헝가리어 자모와 한글대조표에 의하면 에르되시라고 표기하는 것이 맞다. 99쪽에는 앙드리앵-마리 르장드르라고 하고 영문에는 Adrien Marie Legendre으로 시작하든데 이 영문 표기가 맞다면 앙드리앵(Andrien)을 아드리앵으로 바꾸어야 할 것 같다. 외래어 한글상호변환기에는 또 Andrien으로 나와 있는데 Andrien의 구글 검색결과를 보면 Adrien의 오기인 것 같다.

저자 배리 마주르는 하버드대학교 수학 교수인데 허수라는 개념을 물어보는 일반인에게 어떻게 하면 허수의 개념을 쉽게 설명할수 있을까 편지를 주고 받다가, 이런 내용을 묶어서 책으로 출판하면 좋겠다는 뜻에서 집필을 했다고 합니다. 오일러 상수 e나 원주율 π를 다룬 책은 몇 번 봤지만 허수를 다룬 책은 처음 읽어 보았다. 2차 방정식의 근의 공식에서 판별식이 0보다 작을 경우의 근을 무엇에 비유해야 하는가, 음수에 음수를 곱하면 양수가 되는 것은 어떻게 현실과 대응시킬 것인가에 대한 저자의 진지한 고민과 생각, 그리고 나름의 결론을 읽을 수 있었다. 수직선의 회전 변환 부분이 기발했기 때문에 더 기억에 남는 것 같다.

번역이 잘 된 일반인을 위한 수학 교양 도서를 갈수록 찾기 어려워지는데, 이 책은 분량도 부담 없고 내용도 리만 가설이나 소수의 음악처럼 기본이 되는 수학이 아주 어려운 편은 아니라서 괜찮았다. 어렴풋이 알았던 3차 방정식 근의 공식에 대한 역사적 배경도 잘 설명되어 있었다. 복소해석 부분을 알고 있다면 책의 내용을 이해하기 더 쉬울 것같다.

허수 카테고리 과학 지은이 배리 마주르 (승산, 2008년) 상세보기

필즈상 수상자 히로나카 헤이스케가 쓴 인생 이야기를 담고 있다. 두 번째로 읽는 책이지만, 그 감흥은 변하지 않는다. 평범한 사람의 평범한 성공기이기에 그의 이야기는 좀 더 다른 사람들에게 설득력 있고, 심금을 울리게 된다. "나는 바보니까"라고 인정하면서 소박한 마음가짐으로 인생을 살아온 그의 자세는 나에게도 시사하는 점이 많은 것 같다. 특히, 책의 지은이가 수학자라는 점은 수학을 동경하는 마음이 있어서 더욱 책의 묘미를 느끼게 해 주었다.

천재라고 해도 꼭 행복한 삶을 살 수 없고 평범한 사람이라고 해도 현명한 선택을 통해 어느 정도 만족스러운 삶을 살 수 있다는 것을 증거하는 것 같아 기분 좋게 읽을 수 있었다.

학문의 즐거움 카테고리 시/에세이 지은이 히로나카 헤이스케 (김영사, 2008년) 상세보기

각도의 단위에는 네 가지가 있습니다.

우리가 일반적으로 쓰는 각도법(360도가 원 한바퀴),
호도법(또는 라디안, 2 pi rad가 원 한바퀴)
그레이드(400 gon가 원 한바퀴)
턴 (1 turn 또는 1 revolution 말 그대로 원 한바퀴)

Degree 부분의 위키피디아 표제어를 읽다가 흥미로운 부분을 인용해봅디다.

The selection of 360 as the number of degrees (i.e., smallest practical sub-arcs) in a circle was probably based on the fact that 360 is approximately the number of days in a year. Its use is often said to originate from the methods of the ancient Babylonians.

- 360을 원의 각도를 칭하는 숫자로 정한 이유는 아마 360이 약 1년의 일수가 된다는 사실에 기초했을 것입니다. 360을 쓴 것은 고대 바빌로니아 사람들의 방법에서 비롯했다고 사람들은 이야기합니다.

즉 1년의 숫자가 대략 360이니까 그걸 정했다는 설이 지배적인 것 같습니다. 그것때문에 우리의 직각은 90도 평각은 180도로 결정되었죠. 예전 사람들의 유산(legacy)이 바른 결정이었든 잘못된 결정이었는 현대까지 영향을 미치고 있다는 사례인데요.

키보드의 QWERTY 자판이, 초기 자판이 빨리 입력하면 엉킴이 있기에  일부러 사람들의 자판 입력을 느리게 하려는 목적이었지만,  결국 지금까지 보편화되어 버린 것같은 현상같네요.

라디안의 경우, 삼각함수와 관련된 해석학적 부분에서 수식 결과가 깔끔해진다는 이점 때문에 선호되고 있습니다. 극좌표계, 구면좌표계, 원통좌표계 등과 물리에서는 각속도, 각가속도, 위상차 등에서 쓰이고요.

그레이드라는 단위가 있는데, 이 단위가 좋은 점이 뭐냐면 원이 400 그레이드니까 직각이 100 gon, 평각이 200 gon가 됩니다. 그래서 암산하기가 편리해지죠, 어떤 물체가 17 gon을 향하고 있으면 그 옆에 직각을 향하는 방향은 117 gon 바로 뒤를 향하는 것은 217 gon같은 방식으로 산수가 간단하게 됩니다. 그레이드를 일반화하려는 시도가 있었지만 대부분 실패했고 프랑스 포병대와 몇몇 국가의 전문 영역에서만 채택했다고 합니다.

이 그레이드라는 단위가 또다른 레거시가 되었습니다. 1970~1980년 대에 출시된 공학용 계산기의 각도 변환 모드에 deg, rad, grad 세 종류가 삼각함수 계산을 위해 들어가게 되었습니다. 그레이드라는 단위가 현재 널리 쓰이지 않음에도, 공학용 계산기에는 이 기능이 대부분 포함되어 있죠. 하지만 최근 공학용 계산기에는 그레이드 각도 변환기능을 빼고 그냥 각도법이랑 라디안만 넣고 나오는 경우도 있다고 합니다. 제 계산기 사용 설명서에는 이런 역사적인 내용을 담기에는 담을 내용이 훨씬 많아서 그런지 간단히 기능 소개만 하고 넘어가네요.

턴의 경우에는 복소동역학 쪽에서 외부각과 내부각을 잴 때 쓰인다고 하는 군요 1 턴의 1/1,000인 1 milliturn도 쓴다고 합니다.
 
참고자료 (Creative Commons Attribution-ShareAlike License)
http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Radian
http://en.wikipedia.org/wiki/Grad_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Turn_%28geometry%29

일반적인 2차 방정식, 한 줄 수식 태그 tex를 사용했습니다.

 a x^2 + b x + c = 0
일반적인 유리수의 형태. 한 줄 수식 태그를 사용했습니다.

 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0 )

분수니까 여러 줄 수식 태그 texeq도 시험해 보았습니다.
 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0)(p and q are coprime.)

다음은 일반적인 타원의 방정식. a와 b가 같으면 원의 방정식이 됩니다.
 
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

수식 스크립트를 넣고자 참고한 글

http://adexam.textcube.com/entry/math-formula-in-blog

Unit circle 단위원으로 주로 번역한다. 데카르트좌표계(Cartesian Coordinate)라면 x^2+y^2=1, 극좌표계(Polar Coordinate)라면 r=1로 표현되는 그 단위원이다. 복소 평면에서는 z=r exp(i theta) = cos theta + i sin theta.

Definnite Integral에서 Talyor(McLaurin) Series Expansion으로 Cancellation이 되지 않는 Singularity가 있는 복잡한 삼각함수 형태를 적분해야 할 때(즉, 치환, *1하기, 삼각함수 항등식 등이 잘 안먹힐 때) Residue Theorem(Laurent Series Expansion참고)이 쓰인다. 앞에서 삼각함수를 z로 치환하면 변수가 하나로 통일되어서 대수가 간단해진다. 치환하면 Complex plane으로 오게 되므로 그 전에 Cauchy-Riemann Condition이 성립하는지 확인해야 한다. 이 조건이 성립하는 함수는 복소 평면에서 Analytic하다고 본다. 예를 들어 conjugate of z (z star)같은 함수의 경우 모든 평면에서 연속이지만 Caucy-Riemann Condition이 성립하지 않기 때문에 Cauchy Integral을 사용할 수 없다. 다른 경우에는 Cauchy Integral을 적용하면 된다.

재미있는 영재들의 수학퍼즐과 같은 저자가 쓴 책이다. 그동안 수학자들이 했다는 이야기들 중 어떤 것들은 사실이 아니라는 이야기를 알게 되어 유익했다. 오일러가 수학을 못하는 사람에게 신은 없다고 증명을 칠판에 쓰며 망신을 주었다는 이야기와, 가우스가 1부터 100까지 합을 빨리 구해서 선생님을 놀라게 한 이야기 등이 포함되었다. 칸토어와 연속체 가설이 등장하는 부분은 예전에 재미있게 읽었던 '무한의 신비'라는 책을 떠올리게 했다. 겔폰드는 e^pi 상수 때문에 좀 익숙했던 수학자인데 책에 이름이 나와서 관심 있게 읽었다. '무한의 신비'처럼 한 수학 주제에 수학자들의 이야기를 얽은 책이 나오거나, 좋은 책이 번역이라도 자주 되면 좋을텐데 해서 아쉽다. 수학 교양 서적이 계속 나와서 수학에 재미를 붙이는 사람이 많아졌으면 좋겠다.

천재들의 수학 노트 카테고리 과학 지은이 박부성 (향연, 2003년) 상세보기