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  1. 2010.05.28 르벡적분과 표시함수

 

표시함수(Inidcator function)을 
f(x) = 1 (x= 무리수)
f(x)= 0 (x=유리수)
함수는 리만적분(x축에서 직사각형으로 근사하면서 적분하는 방식)으로는 적분이 불가능합니다.
이 때는 y축을 기준으로 가산(countable)과 불가산(uncountable)을 따지게 되는데요.
위 경우 0부터 1까지 적분을 한다치면, 유리수의 집합은 가산 집합(분수를 행렬 형태로 쓰고 대각선으로 세어 나가면서 자연수와 일대일 대응이 가능)이고 무리수는 불가산 집합이므로(실수가 불가산 집합인데 유리수가 가산 집합이므로 여집합은 불가산 집합) y축에서 바라본 유리수의 함수값이 나올 측정 확률은 0에 가까워 집니다. 따라서 위의 적분 값은 1이 된다고 볼 수 있죠.

반대로 
f(x) = 0 (x=무리수)
f(x) = 1 (x=유리수)
인 경우에는 [0,1]에서 르벡적분을 하면 0이되겠죠.

더 참고할 자료.
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Posted by 세레

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