The note of Legendre

'Science/Mathematics'에 해당되는 글 31건

  1. 수학 홀릭 페르마의 마지막 정리 (1)
  2. 르벡적분과 표시함수
  3. 미지수 상상의 역사
  4. 오일러상수 감마 (4)
  5. 허수
  6. 학문의 즐거움
  7. 각도 단위
  8. 수식 입력 테스트
  9. Unit circle
  10. 천재들의 수학노트

수학 홀릭 페르마의 마지막 정리

Science/Mathematics
반응형
유키 히로시가 지은 수학걸(제일 아래 책)의 두번째 시리즈이다. 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 영문 자료 Wolfram Research)를 다루고 있다. 첫 장부터 마지막 전 장까지는 페르마의 마지막 정리를 알기 위해 필요한 기본적인 대수, 수론, 기하, 군론 등의 내용이 담겨 있다. 마지막 장에는 페르마의 마지막 정리를 해결하기 위해 어떤 주요 개념이 쓰였는지, 어떻게 귀류법을 적용했는지 간략하게 나와 있다.

수학걸의 주인공과 함께 유리라는 이종사촌 동생이 새로 등장한다. 주인공은 풋풋한 여학생 세 명에 둘러 싸여 수학에 대한 이야기를 나누고 하는데, 소설로 수학적 내용을 설명하니깐, 교과서보다는 내용에 몰입하기가 쉽다. 다만, 대학 수준의 수학 내용이 나오기 때문에 그런 내용이 나오면 너무 매이지 말고, '그런게 있구나' 하는 정도로 넘어가면 된다. 

유키 히로시(The Essence of Programming, 일본어)의 홈페이지에 의하면 이것 말고도, 수학걸: 괴델의 불완전성 정리(2009. 5. 11)가 나왔는데 이 책도 빨리 번역서가 나와서 읽어보게 되면 좋겠다. 원서에는 일러스트가 있는데, 번역서는 교양서를 목적으로 되다 보니 원서 표지의 캐릭터 일러스트가 빠진 것 같아 아쉽다.

수학 홀릭: 페르마의 마지막 정리
카테고리 과학
지은이 유키 히로시 (동아일보사, 2009년)
상세보기
수학 걸
카테고리 과학
지은이 유키 히로시 (동아일보사, 2008년)
상세보기


반응형

르벡적분과 표시함수

Science/Mathematics
반응형
표시함수(Inidcator function)을 
f(x) = 1 (x= 무리수)
f(x)= 0 (x=유리수)
함수는 리만적분(x축에서 직사각형으로 근사하면서 적분하는 방식)으로는 적분이 불가능합니다.
이 때는 y축을 기준으로 가산(countable)과 불가산(uncountable)을 따지게 되는데요.
위 경우 0부터 1까지 적분을 한다치면, 유리수의 집합은 가산 집합(분수를 행렬 형태로 쓰고 대각선으로 세어 나가면서 자연수와 일대일 대응이 가능)이고 무리수는 불가산 집합이므로(실수가 불가산 집합인데 유리수가 가산 집합이므로 여집합은 불가산 집합) y축에서 바라본 유리수의 함수값이 나올 측정 확률은 0에 가까워 집니다. 따라서 위의 적분 값은 1이 된다고 볼 수 있죠.

반대로 
f(x) = 0 (x=무리수)
f(x) = 1 (x=유리수)
인 경우에는 [0,1]에서 르벡적분을 하면 0이되겠죠.

더 참고할 자료.
반응형

미지수 상상의 역사

Science/Mathematics
반응형
리만가설로 국내에 번역된 책의 원작자 존 더비셔의 다른 수학 교양 도서이다. 이 책은 미지수라는 것이 왜 등장했는지, 미지수의 표기법은 과거에는 어떤 모습이었으며, 현재에 널리 쓰는 모양은 어디에서 비롯된 것인지, 왜 하필 x인지 등을 다루고 있다. 아무래도 미지수라는 내용을 다루다 보니 방정식과 같은 대수적 내용이 빠질 수 없는 것 같다. 

특히 3차 방정식과 4차 방정식의 근의 공식은 구할 수 있는데, 5차 방정식에 대해서는 아벨이 근의 공식이 존재하지 않는다고 증명했다고는 알고 있었다. 하지만 아벨 이전에 누군가 증명을 했지만 그 증명이 난해해서 널리 알려지지 못했다는 이야기는 금시초문이라서 흥미롭게 읽었다. 한편으로는, 수학자들의 경쟁이 굉장히 치열하다는 생각이 들었다.

모르는 것, 아직 알지 못하는 것을 미지수 x로 둠으로써, 인간은 그 미지수를 추구하고 답을 구하는 어떤 구체적인 목표를 얻었고 그에 따라서 인간의 호기심은 수학과 다른 과학의 발전에 기여해왔다. 미지수라는 수학의 본질에 대해 다시 생각해보는 계기가 되었다.
미지수 상상의 역사
카테고리 과학
지은이 존 더비셔 (승산, 2009년)
상세보기
반응형

오일러상수 감마

Science/Mathematics
반응형
승산에서 나온 수학 교양도서로 줄리언 해빌이 지었다. 아무래도 이런 수학 관련 교양 도서의 예상 독자로는 일반인이나 학생들이 되겠지만, 공통적으로 어느 정도 수학에 관심과 호기심이 있는 사람을 대상으로 한다는 점에서 크게 차이는 없을 것이다. 그런 대부분읙 경우에는 정규 교과과정에서 수학을 배우거나, 혹은 개인적으로 책을 찾아가면서 수학 공부를 해 본 사람들이 많을 것이다.

네이피어 상수 e나 허수 i, 원주율 pi를 다룬 책은 많이 봤어도 오일러 상수 gamma를 다룬 국내 책은 처음이고 해서 낯설지만 흥미롭게 읽었다. 내용 자체도 너무 무거운 주제가 아니지만 그렇다고 아주 인기 있는 주제가 아니라서 딱 적절한 목표로 쓰인 책이라는 생각이 들었다. 다만, 아쉬운 점이 있다면 수학 용어나 수학자들의 이름이 다른 책들의 표기와 달라 낯설고 다른 자료를 참조하기가 어렵다는 것이다. 

이를테면 61족의 improper integral을 변칙적분이라고 번역했다. 대한수학회 수학용어국가지정 수리과학연구정보센터 수학학술용어집에서 검색해보면 이상적분, 넓은 의미의 적분이라고 했지 변칙적분이라는 말은 용례에 없다. 또한 63 쪽의 Chebyshev를 체비셰프라고 했는데 외래어 한글상호변환기에서 정부 언론 외래어공동심의위원회의 한글표기 심의결정을 검색해보면 체비쇼프라고 한다. 67쪽에는 erdos를 에어디시라고 했는데 국립국어원 외래어표기법 제2장 표기일람표의 표10 헝가리어 자모와 한글대조표에 의하면 에르되시라고 표기하는 것이 맞다. 99쪽에는 앙드리앵-마리 르장드르라고 하고 영문에는 Adrien Marie Legendre으로 시작하든데 이 영문 표기가 맞다면 앙드리앵(Andrien)을 아드리앵으로 바꾸어야 할 것 같다. 외래어 한글상호변환기에는 또 Andrien으로 나와 있는데 Andrien의 구글 검색결과를 보면 Adrien의 오기인 것 같다.

105쪽의 recurrence relation의 점화관계는 수학학술용어집에 의하면 맞지만, 관계라는 것이 단순한 상관관계를 가리키는 것인지 수식적인 관계를 이야기하는 것인지 모호하기 때문에 점화식으로 썼으면 더 좋았을 것이다. 그리고 국립국어원 표준국어대사전 정의를 따르면 점화식 안에 이미 관계식이 정의로 포함되기 때문에 괜찮을 것이다. 211쪽의 determinant는 행렬정수라고 되어 있는데 수학학술용어집에 의하면 행렬식이라고 나와 있고 determinant가 역행렬을 판별할 수 있는 어떤 수에 대응시키는 행렬 원소로 구성된 식에서 계산으로 얻는 결과이기 때문에, 행렬식이나 판별식(물론 판별식에는 근의 유무나, 선형 안정성 분석 등 여러 의미가 있으나 여기서는 행렬의 판별식)으로 쓰는 편이 더 좋았을 것 같다.

표기 문제는 따지고 들어가면 한도 끝도 없기 때문에, 출간을 지연하는 것보다는, 편집자와 번역자 간에 적당한 선에서 타협을 보아야 한다. 표기법 상으로는 맞지만 어떤 다른 표기가 널리 쓰인다면, 널리 쓰이는 표기를 사용하고 외래어 표기법에 맞는 표기에 대해 설명을 해 줄 수도 있다. 아니면 책의 시작 부분에 이 책은 어떤 용어집이나 어떤 표기법을 기준으로 외래어와 전문 용어를 표시했는지 밝히고, 표기법에 맞지는 않지만 널리 쓰여서 상호 참조를 쉽게 하기 위해 단어를 사용했다고 밝혀 두었다면 더 낫지 않았을까 생각이 든다.  

이전과 겹치지 않는 주제이면서, 양질의 수학 교양 도서를 찾기 힘들어졌다. 미래의 양자 기술 시대를 준비하고자 수학과 물리 관련 교양 도서를 꾸준히 소신 있게 출간한다는 것은 쉽지 않은 일이라고 생각한다. 그것이 주제가 일반 대중의 관심사와 멀기 때문이 아니라, 좋은 책을 잘 만들어도 알아주는 사람이 많지 않다는 점이 또한 그렇다. 앞으로도 읽어 볼만한 수학 교양 도서를 많이 내 주셨으면 좋겠다.


오일러상수 감마
카테고리 과학
지은이 줄리언 해빌 (승산, 2008년)
상세보기


반응형

허수

Science/Mathematics
반응형
저자 배리 마주르는 하버드대학교 수학 교수인데 허수라는 개념을 물어보는 일반인에게 어떻게 하면 허수의 개념을 쉽게 설명할수 있을까 편지를 주고 받다가, 이런 내용을 묶어서 책으로 출판하면 좋겠다는 뜻에서 집필을 했다고 합니다. 오일러 상수 e나 원주율 π를 다룬 책은 몇 번 봤지만 허수를 다룬 책은 처음 읽어 보았다. 2차 방정식의 근의 공식에서 판별식이 0보다 작을 경우의 근을 무엇에 비유해야 하는가, 음수에 음수를 곱하면 양수가 되는 것은 어떻게 현실과 대응시킬 것인가에 대한 저자의 진지한 고민과 생각, 그리고 나름의 결론을 읽을 수 있었다. 수직선의 회전 변환 부분이 기발했기 때문에 더 기억에 남는 것 같다.

번역이 잘 된 일반인을 위한 수학 교양 도서를 갈수록 찾기 어려워지는데, 이 책은 분량도 부담 없고 내용도 리만 가설이나 소수의 음악처럼 기본이 되는 수학이 아주 어려운 편은 아니라서 괜찮았다. 어렴풋이 알았던 3차 방정식 근의 공식에 대한 역사적 배경도 잘 설명되어 있었다. 복소해석 부분을 알고 있다면 책의 내용을 이해하기 더 쉬울 것같다.
허수
카테고리 과학
지은이 배리 마주르 (승산, 2008년)
상세보기


반응형

학문의 즐거움

Science/Mathematics
반응형
필즈상 수상자 히로나카 헤이스케가 쓴 인생 이야기를 담고 있다. 두 번째로 읽는 책이지만, 그 감흥은 변하지 않는다. 평범한 사람의 평범한 성공기이기에 그의 이야기는 좀 더 다른 사람들에게 설득력 있고, 심금을 울리게 된다. "나는 바보니까"라고 인정하면서 소박한 마음가짐으로 인생을 살아온 그의 자세는 나에게도 시사하는 점이 많은 것 같다. 특히, 책의 지은이가 수학자라는 점은 수학을 동경하는 마음이 있어서 더욱 책의 묘미를 느끼게 해 주었다.

천재라고 해도 꼭 행복한 삶을 살 수 없고 평범한 사람이라고 해도 현명한 선택을 통해 어느 정도 만족스러운 삶을 살 수 있다는 것을 증거하는 것 같아 기분 좋게 읽을 수 있었다.
학문의 즐거움
카테고리 시/에세이
지은이 히로나카 헤이스케 (김영사, 2008년)
상세보기


반응형

각도 단위

Science/Mathematics
반응형
각도의 단위에는 네 가지가 있습니다.

우리가 일반적으로 쓰는 각도법(360도가 원 한바퀴),
호도법(또는 라디안, 2 pi rad가 원 한바퀴)
그레이드(400 gon가 원 한바퀴)
턴 (1 turn 또는 1 revolution 말 그대로 원 한바퀴)

Degree 부분의 위키피디아 표제어를 읽다가 흥미로운 부분을 인용해봅디다.
The selection of 360 as the number of degrees (i.e., smallest practical sub-arcs) in a circle was probably based on the fact that 360 is approximately the number of days in a year. Its use is often said to originate from the methods of the ancient Babylonians.
- 360을 원의 각도를 칭하는 숫자로 정한 이유는 아마 360이 약 1년의 일수가 된다는 사실에 기초했을 것입니다. 360을 쓴 것은 고대 바빌로니아 사람들의 방법에서 비롯했다고 사람들은 이야기합니다.

즉 1년의 숫자가 대략 360이니까 그걸 정했다는 설이 지배적인 것 같습니다. 그것때문에 우리의 직각은 90도 평각은 180도로 결정되었죠. 예전 사람들의 유산(legacy)이 바른 결정이었든 잘못된 결정이었는 현대까지 영향을 미치고 있다는 사례인데요.

키보드의 QWERTY 자판이, 초기 자판이 빨리 입력하면 엉킴이 있기에  일부러 사람들의 자판 입력을 느리게 하려는 목적이었지만,  결국 지금까지 보편화되어 버린 것같은 현상같네요.

라디안의 경우, 삼각함수와 관련된 해석학적 부분에서 수식 결과가 깔끔해진다는 이점 때문에 선호되고 있습니다. 극좌표계, 구면좌표계, 원통좌표계 등과 물리에서는 각속도, 각가속도, 위상차 등에서 쓰이고요.

그레이드라는 단위가 있는데, 이 단위가 좋은 점이 뭐냐면 원이 400 그레이드니까 직각이 100 gon, 평각이 200 gon가 됩니다. 그래서 암산하기가 편리해지죠, 어떤 물체가 17 gon을 향하고 있으면 그 옆에 직각을 향하는 방향은 117 gon 바로 뒤를 향하는 것은 217 gon같은 방식으로 산수가 간단하게 됩니다. 그레이드를 일반화하려는 시도가 있었지만 대부분 실패했고 프랑스 포병대와 몇몇 국가의 전문 영역에서만 채택했다고 합니다.

이 그레이드라는 단위가 또다른 레거시가 되었습니다. 1970~1980년 대에 출시된 공학용 계산기의 각도 변환 모드에 deg, rad, grad 세 종류가 삼각함수 계산을 위해 들어가게 되었습니다. 그레이드라는 단위가 현재 널리 쓰이지 않음에도, 공학용 계산기에는 이 기능이 대부분 포함되어 있죠. 하지만 최근 공학용 계산기에는 그레이드 각도 변환기능을 빼고 그냥 각도법이랑 라디안만 넣고 나오는 경우도 있다고 합니다. 제 계산기 사용 설명서에는 이런 역사적인 내용을 담기에는 담을 내용이 훨씬 많아서 그런지 간단히 기능 소개만 하고 넘어가네요.

턴의 경우에는 복소동역학 쪽에서 외부각과 내부각을 잴 때 쓰인다고 하는 군요 1 턴의 1/1,000인 1 milliturn도 쓴다고 합니다.
 
참고자료 (Creative Commons Attribution-ShareAlike License)
http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Radian
http://en.wikipedia.org/wiki/Grad_%28angle%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Turn_%28geometry%29
반응형

수식 입력 테스트

Science/Mathematics
반응형
일반적인 2차 방정식, 한 줄 수식 태그 tex를 사용했습니다.

 a x^2 + b x + c = 0
일반적인 유리수의 형태. 한 줄 수식 태그를 사용했습니다.

 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0 )

분수니까 여러 줄 수식 태그 texeq도 시험해 보았습니다.
 
Q = \frac{q}{p} ( p \ne 0)(p and q are coprime.)

다음은 일반적인 타원의 방정식. a와 b가 같으면 원의 방정식이 됩니다.
 
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

수식 스크립트를 넣고자 참고한 글

http://adexam.textcube.com/entry/math-formula-in-blog
반응형

Unit circle

Science/Mathematics
반응형
Unit circle 단위원으로 주로 번역한다. 데카르트좌표계(Cartesian Coordinate)라면 x^2+y^2=1, 극좌표계(Polar Coordinate)라면 r=1로 표현되는 그 단위원이다. 복소 평면에서는 z=r exp(i theta) = cos theta + i sin theta.

Definnite Integral에서 Talyor(McLaurin) Series Expansion으로 Cancellation이 되지 않는 Singularity가 있는 복잡한 삼각함수 형태를 적분해야 할 때(즉, 치환, *1하기, 삼각함수 항등식 등이 잘 안먹힐 때) Residue Theorem(Laurent Series Expansion참고)이 쓰인다. 앞에서 삼각함수를 z로 치환하면 변수가 하나로 통일되어서 대수가 간단해진다. 치환하면 Complex plane으로 오게 되므로 그 전에 Cauchy-Riemann Condition이 성립하는지 확인해야 한다. 이 조건이 성립하는 함수는 복소 평면에서 Analytic하다고 본다. 예를 들어 conjugate of z (z star)같은 함수의 경우 모든 평면에서 연속이지만 Caucy-Riemann Condition이 성립하지 않기 때문에 Cauchy Integral을 사용할 수 없다. 다른 경우에는 Cauchy Integral을 적용하면 된다.

반응형

천재들의 수학노트

Science/Mathematics
반응형
재미있는 영재들의 수학퍼즐과 같은 저자가 쓴 책이다. 그동안 수학자들이 했다는 이야기들 중 어떤 것들은 사실이 아니라는 이야기를 알게 되어 유익했다. 오일러가 수학을 못하는 사람에게 신은 없다고 증명을 칠판에 쓰며 망신을 주었다는 이야기와, 가우스가 1부터 100까지 합을 빨리 구해서 선생님을 놀라게 한 이야기 등이 포함되었다. 칸토어와 연속체 가설이 등장하는 부분은 예전에 재미있게 읽었던 '무한의 신비'라는 책을 떠올리게 했다. 겔폰드는 e^pi 상수 때문에 좀 익숙했던 수학자인데 책에 이름이 나와서 관심 있게 읽었다. '무한의 신비'처럼 한 수학 주제에 수학자들의 이야기를 얽은 책이 나오거나, 좋은 책이 번역이라도 자주 되면 좋을텐데 해서 아쉽다. 수학 교양 서적이 계속 나와서 수학에 재미를 붙이는 사람이 많아졌으면 좋겠다.
천재들의 수학 노트
카테고리 과학
지은이 박부성 (향연, 2003년)
상세보기


반응형