The note of Legendre

재미있는 영재들의 수학퍼즐

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재미있는 영재들의 수학퍼즐을 읽었습니다. 책이 나온 지는 꽤 되었지만, 그래도 수학퍼즐은 시간과 상관 없이 참 묘하고 재미있네요. 특히 책에서 제시된 논리 부분 문제를 재미있게 읽었습니다. 누구는 거짓말만 하고 누구는 참말만 한다는 상황이 문제니까 가능한 상황이지만, 이런 상황에서 정답을 이끌어 내는 부분이 참 기발하네요. 책 중간에 소개된 상트 페테르부르크의 역설도 참 신기했습니다. 수학적으로 기댓값을 계산해 보면 무한대이지만, 사람은 위험을 기피하려는 경향 때문에 도전하지 않는다는 사실이 참 인상적이었어요. 2권도 읽어 볼 작정입니다.
재미있는 영재들의 수학퍼즐
카테고리 과학
지은이 박부성 (자음과모음, 2001년)
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푸앵카레의 추측

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푸앵카레의 추측을 읽었습니다. 푸앵카레의 추측은 클레이 수학 연구소가 선정한 7개의 수학의 밀레니엄 문제에 속하는데, 리만 가설에 대한 책은 '리만 가설', '소수의 음악' 등으로 나와 읽어 보았는데, '푸앵카레의 추측'과 관련된 교양 도서는 이번에 처음 읽어 보네요. 한 때 그레고리 페렐만이 관련 증명을 인터넷에 공개하면서 인터넷 뉴스에 화젯거리로 등장하기도 했는데요. 책을 보면서 푸앵카레의 추측을 어떻게 해결했는지 이해는 못했지만, 그래도 문제가 어떤 것인지 실마리를 찾을 수 있었습니다. 수학 문제를 넓게 확장할 때, 가능한 우주의 모양을 결정할 수 있다니 참 신기했습니다. 필드상 수상과 클레이 수학 연구소의 상금도 거부했지만, 그레고리 페렐만이 자신의 결과를 인터넷을 통해 공개함으로써, 다른 수학자들에게 도움이 되었으리라 생각합니다. 수학 교양 서적이 보편적으로 인기 있는 분야는 아니라고 생각하는데, 이런 책을 번역서로 읽을 수 있는 환경이 다행이라고 생각합니다.

푸앵카레의 추측
카테고리 과학
지은이 도널 오셔 (까치, 2007년)
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제2회 대학생 공학수학 경시대회(갱신)

Science/Mathematics
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11월 28일 오후 5시 24분부터 문제와 풀이를 PDF파일로 대한수학회에서 제공하고 있으니, 참고하시길 바랍니다.

작년 11월 3일에는 28동에서 봐서 서울대 농대 앞에 내려서 상산수리과학관 쪽으로 꺾으면 바로 있었는데 올해 11월 15일 43동 찾으려다 43-1동에서 길을 잃었다. 겨우 찾아서 시험을 보았다. 이번에는 문제를 1차는 노란색, 2차는 녹색 색지에 인쇄해 주었다. 1차는 총 8문제, 2차는 총 5문제이다.

면책사항: 아래 풀이가 정확하지 않을 지도 모릅니다. 

1-1. 꼭지점 좌표 네 개 주고 사면체 부피 구하는 문제, 작년에 꼭지넘 좌표 네 개 주고 사각형 넓이 구하는 문제와 유사했다. 점 A, B, C, D로 두고 삼각형 ABC 면적 구한 후, 점 A와 B와 C가 지나는 평면의 법선벡터를 구해서 이 법선벡터가 D를 지날 때 삼각형 ABC 평면과 만나는 점을 N이라고 두었다. AD 벡터와 ND벡터의 코사인각을 내적을 통해 구하면 각 AND가 수직이니까, 각 ADN의 사인값이 되어서 이 사인값이 AD 크기를 곱하면 ABC에 대한 사면체의 높이가 된다.

1-2. 적분표 생각만 나고  아무 생각도 안났다. 평균값 정리를 생각해 내는 재치가 있어야 했는데.

1-3. 역시 아무것도 생각안남. 치환 적분이란 걸 떠 올렸어야 했다. cos 안에 식이 복잡하다고 겁먹은 게 문제.

1-4. 적분값의 존재 증명 문제. 포기.

1-5. 대입해서 구했다. 그냥 2차 정사각 행렬 각 원소를 abcd로 놓고 대입해서 열심히 미지수가 네개인 연립방정식 풀었더니 나왔다. 제곱항 제거하느라 애좀 먹었다.
a_{11}=(1+sqrt{3})/2, a_{12}=(1-sqrt{3}/2)
a_{21}=a_{12}. a_{22}= a_{11}
A행렬의 각 원소는 위와 같다.

1-6. 제일 쉬웠다. 혹시 뭐 함정있나 파헤치다가 시간 낭비했던 문제.
답은 f(x,y,z) = e^{xy+yz} + C (C는 상수)

1-7. 못 풀었다. xy항이 있는 2차 함수니까 적절하게 회전시켜서 반지름 1인 원과의 접선을 구하면 풀릴 것 같은데,
시간도 없고 변환 방법도 기억이 잘 안났다.

1-8. u와 v의 transpose에 각 원소를 넣고 대입해서 풀었다.
u=(a,b,c)이고 v=(d,e,f)라 한다.
d=(5/2)e, f=(3/2)e, b=3a. c=2a라는 관계가 성립하고
이 때 ae=2를 만족하는 어떤 행렬이든 문제를 만족하는 u,v 행렬 집합에 속한다.

2-1. 역행렬 비존재 증명 문제인데, 포기했다. 나중에 집에서 찾아보니 minor 행렬을 찾아서 판별식이 0이므로 한 열의 모든 원소를 합한 값이 0인 행렬이 singular하다는 쪽으로 끌고 갔어야 할 것 같으나 확신은 못하겠다. 시험 볼 때에는 n by n 행렬에 1 by n 미지수 x_{i} (i는 1부터 n까지)를 원소로 갖는 행렬을 곱하고 그 옆에는 임의의 상수를 값으로는 1 by n 행렬을 가정한다음에 주어진 행렬 A가 역행렬이 있다면 미지수는 항상 X=A^{-1}C이므로라고 논리를 끌고가다가 시간이 없어서 다 못썼다.

2-2. b 조건에서 양변에 극한 적용해서 phi함수열에서 phi라는 함수문제로 변환한 후 양변 미분에서 미분방정식으로 풀었다.
\phi(t)= (4/5)sin(t/2) + (2/5)cos(t/2)

2-3. 단계별로 네 조건을 적용하니까 답에 가까워졌다.
x와 y로 같은 함수를 각각 편미분한 합이 0이니 u는 x와 y에 관한 2차함수이다. 그래서 무작정 x와 y에 관한 일반함수를 a부터 f까지 계수를 두고 가정한다음 x에 대한 항등식 조거에 의해 필요없는 변수를 제거해 나갔다.
u(x,y) = 3bx^{2} - sqrt{3}bxy (b>0인 실수)

2-4 생성함수를 떠올리게 하는 문제였다. 증명 문제라서 일단 a_{n}이 0이나 1이므로, 모두 1이라 가정해서 최대값 1/(1-x)을 구한 뒤 만일 a_{n+p}=a_{n}이 성립하지 않는데 합이 P가 Q보다 찾은 P(x)/Q(x)를 제시하면서 증명을 마치기는 했는데 근거가 부족했다고 생각한다. 대학생 수학 경시대회 3번에 유사한 문제가 있었나보다. 2진법 순환소수로도 푸는 법이 있군요. 수학 갤러리

2-5. 함수 근사 문제. 오리진에서는 버튼 하나면 끝나는 일이 손으로 계산하려니 막막했다. 네 개의 자료를 직접 오차 제곱 식에 대입해서 합한 다음에 a와 b에 관한 완전 제곱꼴로 변형해서 오차를 최소로 하는 값을 구했다. y=ax+b에서 a=27/26, b=2로 나왔다. 더 우아하게 구하거나 아니면 더 나은 값을 찾는 다른 방법이 있을 것이라 추측한다.
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수학 걸

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도서관에서 교양 수학 서적 부문을 기웃거리다가 발견한 책입니다. 미루카와 테트라, 그리고 나를 중심으로 이야기를 펼치는 이 책은, 수식을 중심으로 내용을 전개하고 있습니다. 수열처럼 중등 수학에서 다루는 내용부터, 테일러 전개와 분할수의 일반항처럼 고등 수학을 다루고 있습니다. 수학에 흥미를 느끼는 분들께는 좋은 책이라고 생각합니다. 다만 책 군데군데 계속해서 수식의 전개나 증명 이야기가 나와서, 중등 수학을 바탕으로 책을 쉽게 읽기는 어려울 지도 모릅니다. 그래도 리만 가설의 바탕이 되는 내용, 오일러가 자연수 제곱의 역수로 이뤄진 조화급수의 합을 구한 방법 등 소수의 음악, 리만 가설과 같이 다른 교양 수학 책에서 다루는 보편적인 이야기도 포함되어 있습니다. 미르카가 문제를 보고 창의적으로 접근하는 면과, 테트라가 수학의 근본 원리에 의문을 가지면서 바탕을 이해하는 법, 화자가 둘 사이에서 직접 해법을 전개하고 다른 해법을 시도하는 모습 등이 기억에 남습니다.
수학 걸
카테고리 과학
지은이 유키 히로시 (동아일보사, 2008년)
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어느 수학자의 변명

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A Mathematician's Apology(1940)의 번역서로 수학자 G. H. 하디(Godfrey Harold Hardy)가 지었다. 하디는 수학과 과학을 구분하고, 수학을 순수수학과 응용수학으로 구분하여 이야기한다. 책의 분량은 짧지만 수필 형식으로 29가지 이야기를 나열한다. 수학을 홀로 터득한 천재 수론학자 라마누잔과의 극적인 만남을 하디는 책에서 회상한다. 독백 형식의 글 뒤에는 부록으로 '수학사를 빛낸 세계의 수학자들'이 나와있어, 유명한 수학자들의 이름과 성취를 시대별로 보여준다.
어느 수학자의 변명
카테고리 자연과학/공학
지은이 G. H. 하디 (세시, 2008년)
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수학의 사생활

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'수학자들의 일과 생각에 관한 아주 쉬운 이야기들'이 책의 부제이다. 사이언티픽 아메리칸 북클럽 선정 도서라는 표지 문구가 눈에 들어온다. 조지 G. 슈피로는 노이에 취르히 자이퉁(새로운 취리히 신문)에 평소 자신이 좋아하던 수학을 주제로 칼럼을 실을 기회를 잡게 되었고, 이 책은 그 칼럼들을 엮어 놓았다. 깊은 배경지식 없이도 쉽고 재미있게 읽었다. 윤년, 타일, 테트리스 등 일상과 밀접한 문제에서 수학적 논리로 설명을 전개해서 수학에 관심있는 분들이라면 더 추천하고 싶다. 평소 흥미로웠던 소수, P vs. NP 문제와 연관된 이야기도 나와서, 즐겁게 읽었다. 책의 후반부에는 수학과 다른 학문과 엮인 이야기들을 나열했다.
수학의 사생활 상세보기
조지 G. 슈피로 지음 | 까치 펴냄
상 후보작 수학에 대한 즐거움에 관하여 설명한『수학의 사생활』. 이 책은 스위스 일간지「노이에 취르허...《수학의 사생활》은 수학이 어떻게 삶에 영향을 끼치고 있는지, 잘 알려지지 않은 수학의 아름다움과...
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기초 수론-1.정수

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일러두기

정의는 파란색

정리는 녹색

으로 표기합니다.

1.정수

정렬 순서 성질(Well-Ordering Property)

양의 정수로 이루어진, 공집합이 아닌 집합은 가장 작은 원소를 포함한다.

정의. r은 poverq.png의 꼴로 나타낼 수 있을 때 유리수이다. (p,q는 정수 qnotzero.png)그렇지 않으면 무리수이다.

정의. α는 정수 계수로 이루어진 다항식의 근일 때 대수적이다. 그렇지 않으면 초월수이다.

정의. greatestint.png 실수 x에 대해 가장 큰 정수(greatest integer)를 나오게 한다. ex) [5/2]=2

정의. 분수부분 {x}=x-[x]

정리 1.2 비둘기집의 원리

k+1 개의 물체를 k 개의 상자에 넣을 때, 적어도 한 상자는 하나 이상의 물체를 포함하게 된다.

정리 1.3 디리클레근사 정리

다음을 만족시키는 α는 실수, n은 양의 정수, 정수 a,b가 존재한다.
1lealen.png, aalphaminus.png

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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미분방정식 시험 ㅠㅠ

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25점짜리 4문제를 풀어야 했는데, 한 문제마다 매우 부담되었다.
특히 증명 문제가 마음에 걸림.

Wronskian != 0이라는 조건을 이용해서 풀어야 되는데
공부하던 것과 달리 웬지 이러면 안될 것 같은 느낌이 들어서 지우고 다시 풀었다.
근데 지금보니 원래 것이 맞는 것 같다.

시험볼 때마다 삽질;;
과목 이름은 미분방정식이면서 적분을 더 많이한다.
(미분한 방정식이니 뭐..)
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나만의 수학자 Top 10 List

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Microsoft student Partners 운영사무국
/* 이 글에서 제시된 사진들은 Wikipedia(http://en.wikipedia.org)에서 인용한 것입니다. */

비록 전공은 물리이지만, 공리로부터 출발하여 그 영역을 확장시키고 한번 만들어진 정리는 불변하다는 점에서 수학은 충분히 매력적이다. 나만의 Top 10 List를 무엇을 쓸까 고민을 하다가, 주제를 정했는데 그 주제는...

내가 생각하는 최고의 수학자 Top 10 List이다.

Gauss
1. Karl Fredrich Gauss
고등학교에서 수학을 배울때 [] (Gauss 기호)로 수학에 절망토록 했다고도 일컬어진다. 초등학교 때 1부터 100까지 더할 때 (1+100)*50 을 이용하여 쉽게 푼 일화로 잘 알려져 있다. Gauss는 순수 수학의 정점이라 할 수 있는 number theory에 많은 업적을 남겼고, Modular Arithmetic의 발명자이기도 하다.

(현재 Modular Arithmetic은 C 언어에서 % 연산자의 형태로 쓰이곤 한다.)

Gauss는 물리에도 상당히 유용하여서, Gaussian Surface라는 용어가 물리에 쓰이고 있다. 물리 전공하는 사람들은 (교수님들이 말씀하시길) 자다가도 벌떡 일어나서 외워야 할 Gauss's Law또한 Gauss의 이름이 붙어 있다. 점전하 이외의 부분을 다룰 때 Coulomb's Law보다 훨씬 편리함을 느낄 수 있다.

Euler
2. Leonhard Euler
e^(i pi) + 1 = 0 이라는 수학에서 가장 아름다운 공식의 근본을 만든 사람이다.
(왜 가장 아름답냐고 하면, [Napier 상수, 원주율, 허수단위, 1, 0]이라는 수학에서 가장 중요한 상수들이 간결한 형태로 표현되어 있기 때문이다.)
우리가 자연로그의 밑에 붙이는 e는 Euler에서 따온 것이라 하는데, Euler 상수라 부르지 못하는 것은 그렇게 부르기엔 그의 업적이 매우 많기 때문이라고 한다.

'쾨니히스베르크의 다리문제'라고 있다. 한붓그리기와 관련이 있는데, 어떤 사람이 두번 같은 다리를 건너지 않고, 모든 다리를 건너서 처음의 위치로 올 수 있는지에 대한 문제이다. 우리나라에서는 중학교 수학과정에 나오기는 하지만, 한붓그리기가 가능한 도형을 일반화했다는 점에서 정말로 신기할 따름이다.

Riemman
3. Bernhard Riemman
리만가설이 정말 마음에 든다. 수론에서 큰 비중을 차지하는 소수에 관한 그의 가설인데, 이전에 승산에서 출판된 '리만가설'이라는 책을 읽고 정말 그가 좋아졌다. 이 가설은 아직까지도 풀리지 않은 수학의 난제이다.

그의 주요 업적 가운데 또 하나는, 복소해석학에서의 리만 곡면을 주장한 것이다. 복소수는 실수부와 허수부로 나뉘는데, 이를 평면에 표현하면 f(z)= z^2 일경우 점들이 평면에 겹치게 된다. 그는 x축을 찢어서 한 바퀴 빙 돌린다음 붙였다. '축을 찢는다는 생각'을 함으로써 복소함수의 변화를 한눈에 개괄토록 한 일이 정말 대단하다고 생각한다.

Pythagoras
4. Pythagoras
피타고라스 정리는 정말 유명하다. 직각삼각형에서 밑변, 높이, 빗변의 관계를 이렇게 명확히 표현해준다는 점에서 유용하기도 하다. 그러나 사실 그는 이 정리를 발견함으로써, 피타고라스 학파에서 인정하지 않는 무리수의 탄생을 재촉했다.

5. 이임학
한국의 수학자이다. 군론에 많은 업적을 남겼고, Ree Group은 그의 이름을 딴 것이다. 경성제국대학 물리학과(당시 수학과가 없었다고 한다.)에 입학한 그는 미군들이 버린 미국 수학회지를 발견하여 읽다가 미해결문제를 풀어 Max Zorn에게 편지를 보내고 Max Zorn은 그의 이름으로 대신 미국 수학회지에 투고하여  채택되었다고 한다.

위 일을 계기로 그는 캐나다로 유학을 떠난다. 유학을 간 대학의 교수가 된 그의 여권을 캐나다 영사관에서 어이없이 뺏는 일만 없었더라면, 그는 한국에서 더 훌륭한 수학자들을 많이 양성했을 것이다. (캐나다 정부는 그에게 영주권을 주었다고 한다.)
http://mathworld.wolfram.com/ReeGroup.html

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6. Pierre de Fermat
여백이 부족하다 하여 자신의 증명을 적지 않은 일이, 후대에 그렇게 큰 영향을 끼칠지 이 수학자는 예측했을까? 페르마의 마지막 정리는 그가 처음 언급한 이후로 300년이 넘어서야 Andrew John Wiles에 의해 증명되었다.

페르마의 마지막 정리는 n>2인 정수일 때 x^n+y^n=z^n을 만족하는 양의정수 x, y, z는 존재하지 않음을 말하고 있다. 이는 피타고라스 정리를 일반화시킨 형태로 보인다.

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7. Georg Cantor
'무한의 신비'라는 책을 읽고 칸토어에 깊은 관심을 갖게 되었다. 유한한 인간의 몸으로 무한을 기술하고자 하였던 그의 의지는 그를 끝내 병들게 하였다는 점에서 안타깝다. 정수나 유리수는 무한히 있음을 안다. 그러나 그들은 셀 수 있다. (유리수의 경우 행렬의 형태로 분수를 나열한 후 대각선으로 세곤 한다.) 그러나 무리수, 실수는 셀 수 없다는 점에서 '무한의 밀도'가 다름을 느낄 수 있다. 대각선 논법

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8. Bertrand Russel

만약 어떤 마을에 스스로 이발을 하지 않는 모든 이의 이발를 해주는 이발사가 있다고 하자. 이 이발사는 이발을 스스로 해야 할까?
러셀의 역설로 유명하다. 수학자이면서 드물게도 노벨 문학상까지 수상한 이력이 있다. 위에서 제시된 역설은 그가 주장한 역설을 일반인에게 쉽게 다가오도록 한 예시이다. 저런 모순된 질문을 던져봄으로써 집합론의 수준을 더 높이 올렸다고 생각한다.

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9. René Descartes
과학혁명이라고 일컬어질 만큼 유용한 Cartesian Coordinate의 발명자. 그가 발명한 좌표계는 지금도 우리나라의 중학교, 고등학교에서 내내 사용한다.
Cogito, ergo sum (나는 생각한다, 고로 존재한다)

라는 말을 방법서설에 남김으로써, 철학에도 커다란 족적을 남겼다.

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10. Isaac Newton
Newton의 제1법칙부터 제3법칙까지, 물리에도 많은 영향력을 주었지만 Newton은 그 외에도 미적분학에 대한 연구를 하고 있었다. Newton이 먼저 미적분학을 발견했는지, Leibniz가 먼저인지 여러 해가 넘도록 논쟁이 있었다고 한다. 역학 책에서 등장하는 미지수 바로 위 중앙에 점을 찍은 형태는 Newton's Notation이라고 불린다.

참고)

  1. dy over dx로 표시하는 것은 Leibniz's Notation이다, Chain Rule이나 Inverse Function의 미분을 이해할 때 형태가 분수와 유사하기 때문에 도움이 된다.
  2. 함수 f에 대해 prime으로 표시를 하는 것은 Lagrange's Notation이라 한다.
  3. 미분연산자 D를 이용하여 표시하는 것은 Euler's Notation이라 하고 선형 미분방정식을 풀 때 유용하다고 한다.
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3/14일은 파이데이-!

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원주율(파이,π)로 나타내는데, 이 원주율을 근사한 값이 대략 3.141592... 라서
앞에 3.14부분을 따서 3월 14일은 이 수학상수를 기념하기 위한 파이데이입니다.

혹자는 뒤에 159까지 아예 3월 14일 1시 59분 이런식으로 기념해야 한다고 주장한다더군요.
이 날에는 보통 파이를 씹으면서 원주율에 대한 이야기를 나눈다더군요.

별 관련은 없지만 이 날이 알베르트 아인슈타인의 생일이랍니다.

..

검색하다가 재밌는 단어 발견, 실제 국어사전에 있는 단아라네요.
http://krdic.naver.com/detail.nhn?kind=newword&docid=4760
이름하여, 안티 화이트데이 족

http://en.wikipedia.org/wiki/White_Day
화이트데이는 일본에서 집중 마케팅의 일환으로 만들어진 날이래요.
음.. 이런 판촉으로 얼룩진 날보다는 건전한 파이 데이를 기념해 보자고요.


Reference.
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Pi_day
2. http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%B4%EC%9D%98_%EB%82%A0
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