허수

2010.05.17 01:42

 

저자 배리 마주르는 하버드대학교 수학 교수인데 허수라는 개념을 물어보는 일반인에게 어떻게 하면 허수의 개념을 쉽게 설명할수 있을까 편지를 주고 받다가, 이런 내용을 묶어서 책으로 출판하면 좋겠다는 뜻에서 집필을 했다고 합니다. 오일러 상수 e나 원주율 π를 다룬 책은 몇 번 봤지만 허수를 다룬 책은 처음 읽어 보았다. 2차 방정식의 근의 공식에서 판별식이 0보다 작을 경우의 근을 무엇에 비유해야 하는가, 음수에 음수를 곱하면 양수가 되는 것은 어떻게 현실과 대응시킬 것인가에 대한 저자의 진지한 고민과 생각, 그리고 나름의 결론을 읽을 수 있었다. 수직선의 회전 변환 부분이 기발했기 때문에 더 기억에 남는 것 같다.

번역이 잘 된 일반인을 위한 수학 교양 도서를 갈수록 찾기 어려워지는데, 이 책은 분량도 부담 없고 내용도 리만 가설이나 소수의 음악처럼 기본이 되는 수학이 아주 어려운 편은 아니라서 괜찮았다. 어렴풋이 알았던 3차 방정식 근의 공식에 대한 역사적 배경도 잘 설명되어 있었다. 복소해석 부분을 알고 있다면 책의 내용을 이해하기 더 쉬울 것같다.
허수
카테고리 과학
지은이 배리 마주르 (승산, 2008년)
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필즈상 수상자 히로나카 헤이스케가 쓴 인생 이야기를 담고 있다. 두 번째로 읽는 책이지만, 그 감흥은 변하지 않는다. 평범한 사람의 평범한 성공기이기에 그의 이야기는 좀 더 다른 사람들에게 설득력 있고, 심금을 울리게 된다. "나는 바보니까"라고 인정하면서 소박한 마음가짐으로 인생을 살아온 그의 자세는 나에게도 시사하는 점이 많은 것 같다. 특히, 책의 지은이가 수학자라는 점은 수학을 동경하는 마음이 있어서 더욱 책의 묘미를 느끼게 해 주었다.

천재라고 해도 꼭 행복한 삶을 살 수 없고 평범한 사람이라고 해도 현명한 선택을 통해 어느 정도 만족스러운 삶을 살 수 있다는 것을 증거하는 것 같아 기분 좋게 읽을 수 있었다.
학문의 즐거움
카테고리 시/에세이
지은이 히로나카 헤이스케 (김영사, 2008년)
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재미있는 영재들의 수학퍼즐과 같은 저자가 쓴 책이다. 그동안 수학자들이 했다는 이야기들 중 어떤 것들은 사실이 아니라는 이야기를 알게 되어 유익했다. 오일러가 수학을 못하는 사람에게 신은 없다고 증명을 칠판에 쓰며 망신을 주었다는 이야기와, 가우스가 1부터 100까지 합을 빨리 구해서 선생님을 놀라게 한 이야기 등이 포함되었다. 칸토어와 연속체 가설이 등장하는 부분은 예전에 재미있게 읽었던 '무한의 신비'라는 책을 떠올리게 했다. 겔폰드는 e^pi 상수 때문에 좀 익숙했던 수학자인데 책에 이름이 나와서 관심 있게 읽었다. '무한의 신비'처럼 한 수학 주제에 수학자들의 이야기를 얽은 책이 나오거나, 좋은 책이 번역이라도 자주 되면 좋을텐데 해서 아쉽다. 수학 교양 서적이 계속 나와서 수학에 재미를 붙이는 사람이 많아졌으면 좋겠다.
천재들의 수학 노트
카테고리 과학
지은이 박부성 (향연, 2003년)
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재미있는 영재들의 수학퍼즐을 읽었습니다. 책이 나온 지는 꽤 되었지만, 그래도 수학퍼즐은 시간과 상관 없이 참 묘하고 재미있네요. 특히 책에서 제시된 논리 부분 문제를 재미있게 읽었습니다. 누구는 거짓말만 하고 누구는 참말만 한다는 상황이 문제니까 가능한 상황이지만, 이런 상황에서 정답을 이끌어 내는 부분이 참 기발하네요. 책 중간에 소개된 상트 페테르부르크의 역설도 참 신기했습니다. 수학적으로 기댓값을 계산해 보면 무한대이지만, 사람은 위험을 기피하려는 경향 때문에 도전하지 않는다는 사실이 참 인상적이었어요. 2권도 읽어 볼 작정입니다.
재미있는 영재들의 수학퍼즐
카테고리 과학
지은이 박부성 (자음과모음, 2001년)
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푸앵카레의 추측을 읽었습니다. 푸앵카레의 추측은 클레이 수학 연구소가 선정한 7개의 수학의 밀레니엄 문제에 속하는데, 리만 가설에 대한 책은 '리만 가설', '소수의 음악' 등으로 나와 읽어 보았는데, '푸앵카레의 추측'과 관련된 교양 도서는 이번에 처음 읽어 보네요. 한 때 그레고리 페렐만이 관련 증명을 인터넷에 공개하면서 인터넷 뉴스에 화젯거리로 등장하기도 했는데요. 책을 보면서 푸앵카레의 추측을 어떻게 해결했는지 이해는 못했지만, 그래도 문제가 어떤 것인지 실마리를 찾을 수 있었습니다. 수학 문제를 넓게 확장할 때, 가능한 우주의 모양을 결정할 수 있다니 참 신기했습니다. 필드상 수상과 클레이 수학 연구소의 상금도 거부했지만, 그레고리 페렐만이 자신의 결과를 인터넷을 통해 공개함으로써, 다른 수학자들에게 도움이 되었으리라 생각합니다. 수학 교양 서적이 보편적으로 인기 있는 분야는 아니라고 생각하는데, 이런 책을 번역서로 읽을 수 있는 환경이 다행이라고 생각합니다.

푸앵카레의 추측
카테고리 과학
지은이 도널 오셔 (까치, 2007년)
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11월 28일 오후 5시 24분부터 문제와 풀이를 PDF파일로 대한수학회에서 제공하고 있으니, 참고하시길 바랍니다.

작년 11월 3일에는 28동에서 봐서 서울대 농대 앞에 내려서 상산수리과학관 쪽으로 꺾으면 바로 있었는데 올해 11월 15일 43동 찾으려다 43-1동에서 길을 잃었다. 겨우 찾아서 시험을 보았다. 이번에는 문제를 1차는 노란색, 2차는 녹색 색지에 인쇄해 주었다. 1차는 총 8문제, 2차는 총 5문제이다.

면책사항: 아래 풀이가 정확하지 않을 지도 모릅니다. 

1-1. 꼭지점 좌표 네 개 주고 사면체 부피 구하는 문제, 작년에 꼭지넘 좌표 네 개 주고 사각형 넓이 구하는 문제와 유사했다. 점 A, B, C, D로 두고 삼각형 ABC 면적 구한 후, 점 A와 B와 C가 지나는 평면의 법선벡터를 구해서 이 법선벡터가 D를 지날 때 삼각형 ABC 평면과 만나는 점을 N이라고 두었다. AD 벡터와 ND벡터의 코사인각을 내적을 통해 구하면 각 AND가 수직이니까, 각 ADN의 사인값이 되어서 이 사인값이 AD 크기를 곱하면 ABC에 대한 사면체의 높이가 된다.

1-2. 적분표 생각만 나고  아무 생각도 안났다. 평균값 정리를 생각해 내는 재치가 있어야 했는데.

1-3. 역시 아무것도 생각안남. 치환 적분이란 걸 떠 올렸어야 했다. cos 안에 식이 복잡하다고 겁먹은 게 문제.

1-4. 적분값의 존재 증명 문제. 포기.

1-5. 대입해서 구했다. 그냥 2차 정사각 행렬 각 원소를 abcd로 놓고 대입해서 열심히 미지수가 네개인 연립방정식 풀었더니 나왔다. 제곱항 제거하느라 애좀 먹었다.
a_{11}=(1+sqrt{3})/2, a_{12}=(1-sqrt{3}/2)
a_{21}=a_{12}. a_{22}= a_{11}
A행렬의 각 원소는 위와 같다.

1-6. 제일 쉬웠다. 혹시 뭐 함정있나 파헤치다가 시간 낭비했던 문제.
답은 f(x,y,z) = e^{xy+yz} + C (C는 상수)

1-7. 못 풀었다. xy항이 있는 2차 함수니까 적절하게 회전시켜서 반지름 1인 원과의 접선을 구하면 풀릴 것 같은데,
시간도 없고 변환 방법도 기억이 잘 안났다.

1-8. u와 v의 transpose에 각 원소를 넣고 대입해서 풀었다.
u=(a,b,c)이고 v=(d,e,f)라 한다.
d=(5/2)e, f=(3/2)e, b=3a. c=2a라는 관계가 성립하고
이 때 ae=2를 만족하는 어떤 행렬이든 문제를 만족하는 u,v 행렬 집합에 속한다.

2-1. 역행렬 비존재 증명 문제인데, 포기했다. 나중에 집에서 찾아보니 minor 행렬을 찾아서 판별식이 0이므로 한 열의 모든 원소를 합한 값이 0인 행렬이 singular하다는 쪽으로 끌고 갔어야 할 것 같으나 확신은 못하겠다. 시험 볼 때에는 n by n 행렬에 1 by n 미지수 x_{i} (i는 1부터 n까지)를 원소로 갖는 행렬을 곱하고 그 옆에는 임의의 상수를 값으로는 1 by n 행렬을 가정한다음에 주어진 행렬 A가 역행렬이 있다면 미지수는 항상 X=A^{-1}C이므로라고 논리를 끌고가다가 시간이 없어서 다 못썼다.

2-2. b 조건에서 양변에 극한 적용해서 phi함수열에서 phi라는 함수문제로 변환한 후 양변 미분에서 미분방정식으로 풀었다.
\phi(t)= (4/5)sin(t/2) + (2/5)cos(t/2)

2-3. 단계별로 네 조건을 적용하니까 답에 가까워졌다.
x와 y로 같은 함수를 각각 편미분한 합이 0이니 u는 x와 y에 관한 2차함수이다. 그래서 무작정 x와 y에 관한 일반함수를 a부터 f까지 계수를 두고 가정한다음 x에 대한 항등식 조거에 의해 필요없는 변수를 제거해 나갔다.
u(x,y) = 3bx^{2} - sqrt{3}bxy (b>0인 실수)

2-4 생성함수를 떠올리게 하는 문제였다. 증명 문제라서 일단 a_{n}이 0이나 1이므로, 모두 1이라 가정해서 최대값 1/(1-x)을 구한 뒤 만일 a_{n+p}=a_{n}이 성립하지 않는데 합이 P가 Q보다 찾은 P(x)/Q(x)를 제시하면서 증명을 마치기는 했는데 근거가 부족했다고 생각한다. 대학생 수학 경시대회 3번에 유사한 문제가 있었나보다. 2진법 순환소수로도 푸는 법이 있군요. 수학 갤러리

2-5. 함수 근사 문제. 오리진에서는 버튼 하나면 끝나는 일이 손으로 계산하려니 막막했다. 네 개의 자료를 직접 오차 제곱 식에 대입해서 합한 다음에 a와 b에 관한 완전 제곱꼴로 변형해서 오차를 최소로 하는 값을 구했다. y=ax+b에서 a=27/26, b=2로 나왔다. 더 우아하게 구하거나 아니면 더 나은 값을 찾는 다른 방법이 있을 것이라 추측한다.
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  1. 2008.11.18 10:34
    오, 엮인글이길래 와봤더니 정말 비슷한 글이네요 ㅋㅋ

    공수경 이번에 보셨나보네요 ~ ㅋ 좋은 결과 있으시길 바랄게요 ^^
    • 2008.11.18 12:24 신고
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      공수경 이번에 봤었어요.

      로우라잇님도 좋은 결과 있으셨으면 좋겠네요.
  2. 공수경대회
    2008.11.28 01:11
    2-5번 문제요 ~ 다른분하고도 답 맞춰봣는데 저렇게 안나오던데
    그리고 저거 주어진 점들을 행렬로 변환해서 행렬의 영공간과 행공간의 관계를
    이용해서 풀면 간단해요~.
    선형대수학 책에 있었습니다.
    • 2008.11.28 23:49 신고
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      선형대수 과목을 들어서 행렬에 대해 더 배우고 싶네요. 미분방정식과 수리물리학밖에 듣지 못했거든요. 공학수학은 전공으로 인정이 되지 않고요.
  3. 성범
    2008.12.01 16:21
    티스토리 초대장 부탁드려요
    room0114@naver.com
  4. 2008.12.21 18:22 신고
    이런 대회도 있는지 몰랐네요. 티스토리를 다시 하려니 약간 헤매고 있습니다^^
    다음에는 저도 참가하고 싶네요!
    • 2008.12.21 23:10 신고
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      내년에도 비슷한 시기에 대회가 개최되리라 예상해요. 대한수학회 홈페이지와 더불어, 이번 회에는 대회 홍보 포스터도 학과 게시판에서 보았어요.

수학 걸

2008.11.19 20:03

 

도서관에서 교양 수학 서적 부문을 기웃거리다가 발견한 책입니다. 미루카와 테트라, 그리고 나를 중심으로 이야기를 펼치는 이 책은, 수식을 중심으로 내용을 전개하고 있습니다. 수열처럼 중등 수학에서 다루는 내용부터, 테일러 전개와 분할수의 일반항처럼 고등 수학을 다루고 있습니다. 수학에 흥미를 느끼는 분들께는 좋은 책이라고 생각합니다. 다만 책 군데군데 계속해서 수식의 전개나 증명 이야기가 나와서, 중등 수학을 바탕으로 책을 쉽게 읽기는 어려울 지도 모릅니다. 그래도 리만 가설의 바탕이 되는 내용, 오일러가 자연수 제곱의 역수로 이뤄진 조화급수의 합을 구한 방법 등 소수의 음악, 리만 가설과 같이 다른 교양 수학 책에서 다루는 보편적인 이야기도 포함되어 있습니다. 미르카가 문제를 보고 창의적으로 접근하는 면과, 테트라가 수학의 근본 원리에 의문을 가지면서 바탕을 이해하는 법, 화자가 둘 사이에서 직접 해법을 전개하고 다른 해법을 시도하는 모습 등이 기억에 남습니다.
수학 걸
카테고리 과학
지은이 유키 히로시 (동아일보사, 2008년)
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  1. 2008.11.19 20:10 신고
    수학의 발전에 공헌한 여성에 관한 책인가요?
    • 2008.11.19 20:21 신고
      댓글 주소 수정/삭제
      아니요, 수식을 취미삼아 전개하는 남자 고등학생과 여자 고등학생 2명 사이의 이야기를 수학 중심으로 전개한 소설입니다.
  2. 2008.11.19 20:16 신고
    흠. 리만가설 정도라면 중등수학 보다는 고등수학이 필요할 것 같네요. 사실 리만제타함수의 경우는 고등학교 과정에도 나오지 않아서 책을 보면서 왜? 라는 생각을 하게 되면 한도 끝도 없을 겁니다. ㅎㅎ 비슷한 책들을 많이 봤는데 풀이법은 거의 제시되지 않고 답만 나와서 호기심이 많은 사람이라면 답답할 수도 있겠더군요.
    • 2008.11.19 20:24 신고
      댓글 주소 수정/삭제
      리만 가설이라 제타함수 같은 경우는, 승산에서 나온 '소수의 음악'이나 '리만 가설' 등이 더 잘 설명되어 있더군요. 중등 수학만으로는 따라잡기 어려울 듯 합니다. 미해결 문제에다 수학의 밀레니엄 문제에 속해서 교양 서적에도 흔히 등장한다고 여겨집니다. 해법이 없으니까 읽는 입장에서는 어렵고 답답하다고 생각하겠네요.
  3. 2008.12.21 15:08
    재미없더라~~
    • 2008.12.21 23:12 신고
      댓글 주소 수정/삭제
      수학만으로 주제를 이끌다 보니, 이야기의 긴장감이 떨어지는 부분은 있어요.

 

A Mathematician's Apology(1940)의 번역서로 수학자 G. H. 하디(Godfrey Harold Hardy)가 지었다. 하디는 수학과 과학을 구분하고, 수학을 순수수학과 응용수학으로 구분하여 이야기한다. 책의 분량은 짧지만 수필 형식으로 29가지 이야기를 나열한다. 수학을 홀로 터득한 천재 수론학자 라마누잔과의 극적인 만남을 하디는 책에서 회상한다. 독백 형식의 글 뒤에는 부록으로 '수학사를 빛낸 세계의 수학자들'이 나와있어, 유명한 수학자들의 이름과 성취를 시대별로 보여준다.
어느 수학자의 변명
카테고리 자연과학/공학
지은이 G. H. 하디 (세시, 2008년)
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'수학자들의 일과 생각에 관한 아주 쉬운 이야기들'이 책의 부제이다. 사이언티픽 아메리칸 북클럽 선정 도서라는 표지 문구가 눈에 들어온다. 조지 G. 슈피로는 노이에 취르히 자이퉁(새로운 취리히 신문)에 평소 자신이 좋아하던 수학을 주제로 칼럼을 실을 기회를 잡게 되었고, 이 책은 그 칼럼들을 엮어 놓았다. 깊은 배경지식 없이도 쉽고 재미있게 읽었다. 윤년, 타일, 테트리스 등 일상과 밀접한 문제에서 수학적 논리로 설명을 전개해서 수학에 관심있는 분들이라면 더 추천하고 싶다. 평소 흥미로웠던 소수, P vs. NP 문제와 연관된 이야기도 나와서, 즐겁게 읽었다. 책의 후반부에는 수학과 다른 학문과 엮인 이야기들을 나열했다.
수학의 사생활 상세보기
조지 G. 슈피로 지음 | 까치 펴냄
상 후보작 수학에 대한 즐거움에 관하여 설명한『수학의 사생활』. 이 책은 스위스 일간지「노이에 취르허...《수학의 사생활》은 수학이 어떻게 삶에 영향을 끼치고 있는지, 잘 알려지지 않은 수학의 아름다움과...
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1.1 알고리즘

알고리즘: 유한성, 명확성, 입력, 출력, 효과성

  1. (a, b, c, d) 를 (b, c, d, a)로
    1. t=a;
    2. a=b;
    3. b=c;
    4. c=d;
    5. d=t;

1.2 수학적 기초

1.2.1 수학적 귀납법

  1. 수학적 귀납법에 의한 증명 P(n) n=1, 2, 3… -> n=0, 1, 2…
    P(0)이 참임을 증명한다. (a)
    "만일 P(0),P(1),P(2),...P(n)이 모두 참이면 P(n+1)도 참이다"를 증명한다. 이 증명은 모든 음이 아닌 정수 n에 대해서 유효해야 한다 (b)
    알고리즘 1.2.1.1 (증명의 구축). 음이 아닌 정수 n이 주어졌다고 할 때, 이 알고리즘은 P(n)이 참임을 보이는 증명을 출력한다.
    I1. [P(0)을 증명.] k<-0로 설정하고 (a)에 의거해서 P(1)의 증명을 출력한다.
    I2. [k=n?] 만일 k=n이면 알고리즘을 끝낸다. 요구된 증명은 이미 출력되었다.
    I3. [P(k+1)을 증명.] (b)에 의거해서 "P(1), ...,P(k)가 참이면 P(k+1)도 참이다"에 대한 증명을 출력한다. 또한 "이미 P(1), ...,P(k)는 증명되었으며, 따라서 P(k+1)은 참이다."도 출력한다.
    I4. [k를 증가.] k를 1 증가시키고 단계 I2로 간다.

1.2.2 수, 거듭제곱, 로그

//47쪽 오타: 무한이->무한히

  1. 0
  2. 1+0.239999....는 소수 전개
  3. -1/27
  4. 4
  5. 2진 전개 x = n + 0.d1d2d3.... n은 이진수이고, 각 di는 0에서 1사이의 숫자이다. 이 숫자들의 열은 끝나지 않고, 무한히 많은 1들로 이어진다.
    이는 binaryexpansion.png를 의미한다.
  6. x = m + 0.d1d2... y = n + 0.e1e2... 는 실수이다.
    1. m과 n을 비교한다. (m>n이면 x>y, m<n이면 x<y이다. ->종료)
    2. m=n이면 i에 1을 둔다.
    3. diei를 비교한다.

    4. 전자가 크면 x가 크고, 후자가 크면 y가 크다. 같다면 i에 1을 증가시키고 3번으로 돌아간다.
    5. 모든 양의 정수 i에 대해 diei가 같다면 x=y이다.

10. log102는 유리수가 아니다.

  1. log102가 유리수라면 그 값은 b/a로 설정할 수 있다. (b와 a는 정수, a는 0이 아니다.)
  2. 이는 2equal10bovera.png이다.
  3. 양변을 a제곱 하면, 2a = 10b이다.
  4. 이는 10을 소인수분해할 때 2totheaequal.png이고
  5. 양변을 2b로 나눌 때 2a-b=5b이다.
  6. 2와 5는 서로소 관계이므로 이를 만족하는 정수 a와 b는 존재하지 않는다.
  7. 따라서 처음 가정은 틀렸고, log102는 유리수가 아니다.

11. b=10, xapproxlog.png일 때 bx의 소수 전개 처음 세 자리를 결정하는데 필요한 x 값의 소수점 이하 유효 숫자는 세 개

http://inphy.korea.ac.kr/Work/Gen_Phy_Exp/Worksheet/Gen_Phy_Exp_0_0/Significant_Figures.pdf

12. 식 9에서 log에 대한 정의를 내렸고,

100.30102999 = 1.9999999739 와 100.30103000=2.0000000199 이므로

log102는 위에 제시된 지수 사이의 값이 분명하므로 log102=0.301029999...로 쓸 수 있다.

16.log10x= lnxln10(1).png

17. lg32=5, logππ=1, lne=1, logb1=0, logb(-1)eiπ = − 1이므로  bipilogbe.png에서, logbnegativone.png이다.

18. log8x는 lgxoverlg8.png이므로 옳지 않다.

20. log102와 log210는 역수 관계이다.

1.2.3 합과 곱

1.조건을 만족하는 정수에 대해서만 적용되므로 a1+a2+a3

2.2nplusone.png, 2timesnsquare.png

4.a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33

9.유효하다

10. 유효하지 않다.

11. (n+1)a

12. oneoverseven.png

13. mnsummation.png

17. 정수의 개수는 무한하므로, 특정값으로 정의될 수 없다. 즉, 무한히 커지는 상태이다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix

http://www.google.co.kr/search?q=combinatorial+matrix&btnG=%EA%B2%80%EC%83%89&complete=1&hl=ko

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_determinant


이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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