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조합론, 파국 이론*, 위상수학, 게임이론 등 17 가지 수학적 주제를 단편으로 다루고 있다. 책 자체도 그리 두껍지 않아서 하루만에 읽었다. 칸토어의 집합론과 콘웨이의 공집합 이야기가 특히 기억에 남는다. 칸토어의 이야기는 '무한의 신비'라는 책에서 들었지만, 다른 사람이 구체화하지 못한 상상을 한 것이 정말 천재적이고, 그로 인해 병을 얻은게 너무나 가엾었다. 다른 경문 수학 산책 시리즈도 이참에 읽어볼 작정이다.
217쪽에 NP(non-polynomial) 비다항식이라고 설명하는 부분이 나오는데 Non-deterministic Polynomial(비결정성 다항식)의 오탈자인 것 같다. 그 장이 P와 NP에 대해서 다루고 있기 때문인데, 계산 복잡도 이론에 대해서 aistudy의 Computation Complexity Theory(한글)라는 문서가 잘 소개하고 있다.
*책에 의하면 카타스토로피 이론이라고 하지만 catastrophe의 발음기호(Google 사전)와 외래어표기법을 고려할 때 커태스트러피 이론이라고 쓰는 게 맞다.
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스위스 신문에 연재되었던 수학 칼럼을 엮어 펴낸 책이다. 윤년에 관한 이야기가 복잡하지만, 신기했다. 단편으로 되어 있어서, 이야기 전후에 관계가 별로 없다. (푸앵카레의 추측은 예외이다. 아마 그 추측에 대해 쓰고, 시간이 흘러 그레고리 페렐만에 의해 해결되었기 때문인 것 같다. )잠깐씩 읽기에 좋았다.
우리나라에서는 월간지에는 과학동아, 뉴턴, Popular Science 등이 교양 과학을 주제로 다루고 있다. 일간지에서도 교양 과학이나 수학 연재를 꾸준히 하는지 모르겠지만, 그렇게 하고 있다면 정말 다행이고, 읽어 보고 싶다.
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경문수학산책 시리즈의 2번째 책이다. 이 책은 현대 수학의 중요한 발견들을 선택하여 대중에게 소개하기 위해 쓰인 책이다. 다른 교양 수학 책의 경우 아주 고전 수학자들의 이야기를 다루거나(가우스, 오일러, 라이프니츠 등), 잘 알려진 미해결 문제들(리만가설, 푸앵카레의 추측, 페르마의 마지막 정리, 골드바흐의 추측 등)을 다루는 게 다수이다.
이 책에서는 매듭론, 군론 , class number 등 이전에 잘 다뤄지지 않은 과거 25년 간의 수학적 발견을 다루고 있다. 물론 한 권의 책에 다양한 수학 주제를 포괄하려다 보니 세부적인 내용은 생략되었지만, 수학적 지식이 정말 빨리 팽창한다고 느꼈다. 과거 공리를 바탕으로 증명된 명제들을 이용하기 때문에, 수학자들은 그에 매력을 느끼는 것 같다.
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푸앵카레의 추측에 이어, 푸앵카레에 대한 다른 수학 교양 도서가 번역되어 나왔습니다. 신기한 것은 푸앵카레의 추측과 이번에 읽은 책의 번역자가 같은 사실인데요. 정말 기이한 우연이네요. 전자가 수학적 사실에 초점을 맞추었다면 이 책은 푸앵카레와 그 주변 인물과의 사건, 역사에 더 비중을 두었습니다. 그래서 개념이 난해하기 보다는 이야기를 따라가면 돼서, 훨씬 더 읽기가 수월했습니다.
순수수학 단행본 교양도서를 서점에서 살펴보면 정말 그 주제가 한정되고, 수도 적어서 아쉬웠습니다, 페렐만이 푸앵카레의 추측을 해결한 덕분에, 정수론 말고 위상수학과 관련된 교양 도서를 읽을 수 있어 정말 기쁩니다. 페렐만의 성취는 한 번에 이루어진 것이 아니라, 틈틈이 습작으로 갈고 닦은 실력을 바탕으로 이루어진 노력의 결과라고 생각합니다. 페렐만의 필드상 거부는 수학계의 자성을 촉구하는 무언의 표현이라고 합니다. 아직 미해결된 수학의 밀레니엄 문제들도 해결되는 날을 볼 수 있기를 희망해 봅니다.
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무한 공간의 왕은 기하학자 도널드 콕세터의 이야기를 다루고 있다. 그는 초다면체(폴리토프, Polytope)를 연구하였는데, 초다면체란 3차원 이상의 차원(n차원, n=4, 5, 6...)에서의 기하학적 모양에 관한 것이다. 일반적인 수의 차원에 대해서 다루고 있기 때문에, 기하학적 직관이 없으면 3차원 보다 큰 차원을 어떻게 다루어야 할지 막막하지 않을까 생각했다.
다른 사람들의 고전 기하학에 실망하여 등을 돌렸을 때, 비유클리드 기하학과 초다면체 등을 연구하면서 꾸준히 계속 업적을 남길 수 있었던 재능과 근면함이 부러웠다. 콕세터는 여러 거울을 이어 붙여 만든 망원경으로 고차원의 다면체를 3차원 이하의 차원으로 사상하고자 했다. 나중에 그는 콕세터 도식이라는 매우 독창적이면서 간결한 초다면체 표기법을 만들었는데, 정보가 이렇게까지 압축될 수도 있구나 싶었다. 앞으로 다른 수학자들도 이렇게 소개되어서, 그들의 수학적 업적과 함께 인간적 면모도 함께 알아갈 수 있는 책이 많아졌으면 좋겠다.
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아인슈타인의 우주와 마찬가지로 GREAT DISCOVERIES 시리즈에 포함된다. '괴델의 불완전성 정리'로 유명한 수리논리학자 괴델은 어떤 공리계에서 참인지 거짓인지 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것을 증명함으로써, 수학의 공리계에 대한 본질적 한계를 밝혀낸 것으로 유명하다. 칸토어의 연속체 가설이나, 골드바흐의 추측('사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학천재 이야기'라는 책을 읽으면 좋다.) 등의 명제가 '참인지 거짓인지 현 공리계 내에서 증명할 수 없는 명제'일 수도 있다는 논란이 있다.
인간의 추상화에 대한 집념은 정말 대단한 것 같아서, 이런 업적들을 볼 때 단번에 쉽게 이해할 수 없기 때문에, 경외심을 느끼게 하는 면도 있다. 그는 원래 물리학을 공부하다가, 수론 때문에 수학을 공부하다가, 수리논리학을 연구하게 되었다고 한다. 그런 그의 진로가 내가 지금 하고 있는 고민과 일치하는 것 같아서, 앞으로 나아갈 방향에 참고할 수 있을 것 같다. 비슷한 부류의 교양 도서들이 많이 나와서, 사람들이 수학이나 물리에 대해 좀 더 친근해질 수 있는 계기가 되엇으면 좋겠다.
책을 읽으면서 좀 불편했던 부분을 정리하면
- 본문에 포함된 주석의 양이 너무 많아서 읽기에 산만했다. 어떤 주석은 본문의 절반을 차지하기도 했는데, 주석이 그렇게 중요한 내용이었다면 지은이가 본문에 포함했을 것이다. (본문의 오류를 지적하는 옮긴이주는 본문에 포함되어서 차라리 나았다.) 주석을 읽으려면 본문을 읽다가 주석 읽고 다시 원래 자리로 찾아 돌아가서 읽어야 되는데 그렇게 하면 흐름이 끊기고, 막상 주석이 본문의 줄거리와 크게 관련 없는 사소한 내용일 경우에는 실망만 커진다. 차라리 그 주석들을 전부 각 장의 뒤나, 아니면 책의 맨 뒤 부록으로 뺐으면 좋겠다.
- 일부 어려운 개념이나, 인명 옆에 원문을 작은 글씨로 병기했다. 이 영문 부분도 새로운 정보를 주기 보다는 읽기에 걸리적 거리니깐 뒤에 찾아보기 부분에 같이 병기하는 편이 낫다고 본다. 그렇게 하면 관련 자료를 서로 참조할 때 굳이 본문에 일일이 원문을 표시해 주지 않아도 불편하지 않을 것이다.
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유키 히로시가 지은 수학걸(제일 아래 책)의 두번째 시리즈이다. 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 영문 자료 Wolfram Research)를 다루고 있다. 첫 장부터 마지막 전 장까지는 페르마의 마지막 정리를 알기 위해 필요한 기본적인 대수, 수론, 기하, 군론 등의 내용이 담겨 있다. 마지막 장에는 페르마의 마지막 정리를 해결하기 위해 어떤 주요 개념이 쓰였는지, 어떻게 귀류법을 적용했는지 간략하게 나와 있다.
수학걸의 주인공과 함께 유리라는 이종사촌 동생이 새로 등장한다. 주인공은 풋풋한 여학생 세 명에 둘러 싸여 수학에 대한 이야기를 나누고 하는데, 소설로 수학적 내용을 설명하니깐, 교과서보다는 내용에 몰입하기가 쉽다. 다만, 대학 수준의 수학 내용이 나오기 때문에 그런 내용이 나오면 너무 매이지 말고, '그런게 있구나' 하는 정도로 넘어가면 된다.
유키 히로시(The Essence of Programming, 일본어)의 홈페이지에 의하면 이것 말고도, 수학걸: 괴델의 불완전성 정리(2009. 5. 11)가 나왔는데 이 책도 빨리 번역서가 나와서 읽어보게 되면 좋겠다. 원서에는 일러스트가 있는데, 번역서는 교양서를 목적으로 되다 보니 원서 표지의 캐릭터 일러스트가 빠진 것 같아 아쉽다.
리만가설로 국내에 번역된 책의 원작자 존 더비셔의 다른 수학 교양 도서이다. 이 책은 미지수라는 것이 왜 등장했는지, 미지수의 표기법은 과거에는 어떤 모습이었으며, 현재에 널리 쓰는 모양은 어디에서 비롯된 것인지, 왜 하필 x인지 등을 다루고 있다. 아무래도 미지수라는 내용을 다루다 보니 방정식과 같은 대수적 내용이 빠질 수 없는 것 같다.
특히 3차 방정식과 4차 방정식의 근의 공식은 구할 수 있는데, 5차 방정식에 대해서는 아벨이 근의 공식이 존재하지 않는다고 증명했다고는 알고 있었다. 하지만 아벨 이전에 누군가 증명을 했지만 그 증명이 난해해서 널리 알려지지 못했다는 이야기는 금시초문이라서 흥미롭게 읽었다. 한편으로는, 수학자들의 경쟁이 굉장히 치열하다는 생각이 들었다.
모르는 것, 아직 알지 못하는 것을 미지수 x로 둠으로써, 인간은 그 미지수를 추구하고 답을 구하는 어떤 구체적인 목표를 얻었고 그에 따라서 인간의 호기심은 수학과 다른 과학의 발전에 기여해왔다. 미지수라는 수학의 본질에 대해 다시 생각해보는 계기가 되었다.
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승산에서 나온 수학 교양도서로 줄리언 해빌이 지었다. 아무래도 이런 수학 관련 교양 도서의 예상 독자로는 일반인이나 학생들이 되겠지만, 공통적으로 어느 정도 수학에 관심과 호기심이 있는 사람을 대상으로 한다는 점에서 크게 차이는 없을 것이다. 그런 대부분읙 경우에는 정규 교과과정에서 수학을 배우거나, 혹은 개인적으로 책을 찾아가면서 수학 공부를 해 본 사람들이 많을 것이다.
네이피어 상수 e나 허수 i, 원주율 pi를 다룬 책은 많이 봤어도 오일러 상수 gamma를 다룬 국내 책은 처음이고 해서 낯설지만 흥미롭게 읽었다. 내용 자체도 너무 무거운 주제가 아니지만 그렇다고 아주 인기 있는 주제가 아니라서 딱 적절한 목표로 쓰인 책이라는 생각이 들었다. 다만, 아쉬운 점이 있다면 수학 용어나 수학자들의 이름이 다른 책들의 표기와 달라 낯설고 다른 자료를 참조하기가 어렵다는 것이다.
이를테면 61족의 improper integral을 변칙적분이라고 번역했다. 대한수학회 수학용어나 국가지정 수리과학연구정보센터 수학학술용어집에서 검색해보면 이상적분, 넓은 의미의 적분이라고 했지 변칙적분이라는 말은 용례에 없다. 또한 63 쪽의 Chebyshev를 체비셰프라고 했는데 외래어 한글상호변환기에서 정부 언론 외래어공동심의위원회의 한글표기 심의결정을 검색해보면 체비쇼프라고 한다. 67쪽에는 erdos를 에어디시라고 했는데 국립국어원 외래어표기법 제2장 표기일람표의 표10 헝가리어 자모와 한글대조표에 의하면 에르되시라고 표기하는 것이 맞다. 99쪽에는 앙드리앵-마리 르장드르라고 하고 영문에는 Adrien Marie Legendre으로 시작하든데 이 영문 표기가 맞다면 앙드리앵(Andrien)을 아드리앵으로 바꾸어야 할 것 같다. 외래어 한글상호변환기에는 또 Andrien으로 나와 있는데 Andrien의 구글 검색결과를 보면 Adrien의 오기인 것 같다.
105쪽의 recurrence relation의 점화관계는 수학학술용어집에 의하면 맞지만, 관계라는 것이 단순한 상관관계를 가리키는 것인지 수식적인 관계를 이야기하는 것인지 모호하기 때문에 점화식으로 썼으면 더 좋았을 것이다. 그리고 국립국어원 표준국어대사전 정의를 따르면 점화식 안에 이미 관계식이 정의로 포함되기 때문에 괜찮을 것이다. 211쪽의 determinant는 행렬정수라고 되어 있는데 수학학술용어집에 의하면 행렬식이라고 나와 있고 determinant가 역행렬을 판별할 수 있는 어떤 수에 대응시키는 행렬 원소로 구성된 식에서 계산으로 얻는 결과이기 때문에, 행렬식이나 판별식(물론 판별식에는 근의 유무나, 선형 안정성 분석 등 여러 의미가 있으나 여기서는 행렬의 판별식)으로 쓰는 편이 더 좋았을 것 같다.
표기 문제는 따지고 들어가면 한도 끝도 없기 때문에, 출간을 지연하는 것보다는, 편집자와 번역자 간에 적당한 선에서 타협을 보아야 한다. 표기법 상으로는 맞지만 어떤 다른 표기가 널리 쓰인다면, 널리 쓰이는 표기를 사용하고 외래어 표기법에 맞는 표기에 대해 설명을 해 줄 수도 있다. 아니면 책의 시작 부분에 이 책은 어떤 용어집이나 어떤 표기법을 기준으로 외래어와 전문 용어를 표시했는지 밝히고, 표기법에 맞지는 않지만 널리 쓰여서 상호 참조를 쉽게 하기 위해 단어를 사용했다고 밝혀 두었다면 더 낫지 않았을까 생각이 든다.
이전과 겹치지 않는 주제이면서, 양질의 수학 교양 도서를 찾기 힘들어졌다. 미래의 양자 기술 시대를 준비하고자 수학과 물리 관련 교양 도서를 꾸준히 소신 있게 출간한다는 것은 쉽지 않은 일이라고 생각한다. 그것이 주제가 일반 대중의 관심사와 멀기 때문이 아니라, 좋은 책을 잘 만들어도 알아주는 사람이 많지 않다는 점이 또한 그렇다. 앞으로도 읽어 볼만한 수학 교양 도서를 많이 내 주셨으면 좋겠다.
