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실수체(real field)   
존재 정리를 확인한다.

1. 정리: 순서체(ordered field) R에서 최소상계성(least-upper-bound property)이 있다. 더욱이 R은 Q(유리수체)를 부분집합으로 포함한다.
두번째 문장은 Q \subset R과 R에서의 덧셈, 곱셈 연산이 Q의 원소에 적용될 때, 유리수에서의 일반 연산과 일치하고, 양의 유리수는 R에서 양의 원소라는 것을 의미한다.R의 원소는 실수라고 부른다.

정리의 증명은 길고 약간 지겹기 때문에 나중에 설명한다. 사실, 증명은 Q에서 R을 구성한다. 다음 정리는 아주 약간의 노력만 더 해서 얻을 수 있다. 그러나 정리 1. 에서 유도하는 편이 더 낫다. 왜냐하면 이 유도가 최소상계성으로 할 수 있는 좋은 예시가 되기 때문이다.

2. 정리
(가)x \in R,y \in R,x > 0일 때 nx > y를 만족하는 양의 정수가 있다.
(나)x \in R,y \in R, x< p < y를 만족하는 p \in Q가 존재한다.
(가)는 R의 아르키메데스 성질(archimedean property)을 나타낸다. (나)는 Q가 R에서 조밀(dense)하다고 함으로써 나타낼 수 있다. 즉 어떤 두 실수 사이에 유리수 원소가 있다.
증명
(가) A가 모든 nx의 집합이라고 하자. n은 양의 정수이다. (가)가 거짓이라면, y는 A의 상계가 딜 것이다. 그러나 A가 R에서 최소상계를 갖는다. \alpha = sup A라고 둔다. x > 0, \alpha - x < \alpha이기 때문에 \alpha - x는 A의 상계가 아니다. 어떤 정수 m에 대해 \alpha - x < mx이다. 그러나 \alpha < (m+1)x \in A이고 \alpha가 A의 상계이므로 불가능하다.
(나) x < y이기 때문에 y - x > 0이고 (가)에서 n(y - x) > 1처럼 양의 정수 n을 내놓는다. m_{1}>nx, m_{2}>-nx를 만족하는 양의 정수 m_{1}, m_{2}를 얻고자 (가)를 다시 적용한다. 그러면 -m_{2} < nx < m_{1}이다. 따라서 -m_{2} < m < m_{1}에서 m-1 < nx < m을 만족하는 정수 m이 있다. 두 부등식을 합치면, 우리는 다음 식을 얻는다. nx < m \le 1+nx < ny. n > 0이기 때문에, 다음 식이 성립한다.
x< \frac{m}{n} < y
이것은 (나)를 p = m/n으로 증명한다.

양의 실수에서 n번 째 근을 증명할 것이다. 이 증명은 R에서 다룰 수 있는 \sqrt{2}의 무리수성(irrationality)의 어려움을 어떻게 지적하는지 보여줄 것이다. 유리수와 무리수를 포함하는 실수에 대한 자세한 설명은 다음 링크를 참조한다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

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적은 노력으로 변화를 유도하는 '행동 설계'에 관한 내용을 다루고 있다. 논리적으로 분석하고 긴 시간을 들여서 도표 등으로 프리젠테이션을 하는 것보다, 직접 감정에 호소하여 느끼게 하는 편이 원하는 바를 이룰 때 효과적이었던 사례가 소개된다. 기수와 코끼리 같은 용어가 처음에는 낯설었는데, 스위치 없이는 변화하기 어려운 점을 무거운 동물인 코끼리에 비유한 것이라고 생각한다.

하지만 다른 자기계발, 성공전략 서와는 다르게 정말 공감이 되는 책이었다. 심리학과 행동경제학에 기초하여 설명했기 때문에, 내용에도 더 믿음이 갔다. 밝은 점 찾기와 습관을 통해 긍정적인 변화를 손쉽게 유도하는 점이 인상 깊었다. 여기서 나온 상황을 잘 응용하면 조직에서 발생하는 갈등이나 문제 해결에 좋은 도구가 될 것이다.
스위치
카테고리 자기계발
지은이 칩 히스 (웅진지식하우스, 2010년)
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매일 많은 방문자들이 방문하는 블로그를 운영하는, 파워 블로거 서른 명의 인터뷰가 나온 책이다. 그들이 하는 이야기를 읽어 보면, 블로그를 잘 운영하기 위해 필요한 공통적인 속성이 있다.

예를 들면, 꾸준히 자신의 전문 분야와 관련된 양질의 콘텐트를 올리는 것과 검색엔진 최적화(SEO)에 너무 목매지 말것 등이다. 하지만 굳이 방문자를 의식하지 않는다면 주제 중심보다, 자신이 중심이 되는 글을 쓰는 것도 한 방법이다. 어떤 블로거는 책에서 SEO를 하느니 그 노력으로 더 좋은 글을 쓰는 편이 낫다고 한다. 아무래도 영어권 국가의 경우, 기대되는 독자 층이 한국어보다 더 넓기 때문에, 광고 수익을 제법 거두는 블로거들도 있다. 무엇보다 그런 지금의 파워 블로거를 있게 한 것은, 그들의 블로그에 대한 끊임 없는 열정이라고 생각한다. 문화적으로 조금 다른 부분도 있지만, 책을 읽으면서 대체적으로 그들의 제시한 가이드라인에 공감했다.

블로그 마케팅에 뛰어드는 기업들이 있다. 마케팅 블로거들은 더욱 '진실'하고 '솔직'해야 한다. '비판'을 봉쇄하지 말고 겸허히 수용하는 모습을 보여야 한다. 그렇지 않으면 소비자나 잠재적 구매자들은 그들의 '닫힌 소통 방식'에 실망할 것이다.

블로그 히어로즈
카테고리 경제/경영
지은이 마이클 A. 뱅크스 (에이콘출판, 2008년)
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프로젝트가 나타내는 86가지의 행동/양상을 자주 반복되는 패턴으로 나누어 설명한 책입니다.
제일 인상 깊게 읽었던 패턴은 '뉴스 세탁'인데요. 전달을 반복하면서 원래의 정보가 그대로 보존되지 않고, 노이즈가 껴서 원래 의도가 말단에 가서는 왜곡되는 현상을 말합니다.  예를 들면, 
학생들: 등록금 인상은 불가능합니다.
-> 총학생회: 등록금 인상은 무리입니다
-> 등록금책정위원장: 등록금 인상은 어렵습니다만..
-> 총장: 등록금 인상 충분히 가능합니다.
같은 식이 되겠죠.

많은 프로젝트의 성공과 실패가 과거에 있었고, 그런 실수에서 비롯된 교훈이나 빠지기 쉬운 함정이 있기 마련입니다. 프로젝트가 산으로 간다면, '이 책에서 그 패턴에 해당되는 문제'라는 걸 파악할 수 있습니다. 문제를 인식했다면, 이제 제시된 적합하고 가능한 해결책을 따라가면 되겠죠. 프로젝트 관리와 관련된 에세이라고 생각해서, 딱딱할 줄 알고 걱정했습니다. 저자가 재치있게 이야기를 풀어가고 지루하지도 않아서 시간 가는 줄 모르고 읽었네요.

프로젝트가 서쪽으로 간 까닭은
카테고리 컴퓨터/IT
지은이 톰 드마르코 (인사이트, 2009년)
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아인슈타인의 우주와 마찬가지로 GREAT DISCOVERIES 시리즈에 포함된다. '괴델의 불완전성 정리'로 유명한 수리논리학자 괴델은 어떤 공리계에서 참인지 거짓인지 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것을 증명함으로써, 수학의 공리계에 대한 본질적 한계를 밝혀낸 것으로 유명하다. 칸토어의 연속체 가설이나, 골드바흐의 추측('사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학천재 이야기'라는 책을 읽으면 좋다.) 등의 명제가 '참인지 거짓인지 현 공리계 내에서 증명할 수 없는 명제'일 수도 있다는 논란이 있다.

인간의 추상화에 대한 집념은 정말 대단한 것 같아서, 이런 업적들을 볼 때 단번에 쉽게 이해할 수 없기 때문에, 경외심을 느끼게 하는 면도 있다. 그는 원래 물리학을 공부하다가, 수론 때문에 수학을 공부하다가, 수리논리학을 연구하게 되었다고 한다. 그런 그의 진로가 내가 지금 하고 있는 고민과 일치하는 것 같아서, 앞으로 나아갈 방향에 참고할 수 있을 것 같다. 비슷한 부류의 교양 도서들이 많이 나와서, 사람들이 수학이나 물리에 대해 좀 더 친근해질 수 있는 계기가 되엇으면 좋겠다.

책을 읽으면서 좀 불편했던 부분을 정리하면
  1. 본문에 포함된 주석의 양이 너무 많아서 읽기에 산만했다. 어떤 주석은 본문의 절반을 차지하기도 했는데, 주석이 그렇게 중요한 내용이었다면 지은이가 본문에 포함했을 것이다. (본문의 오류를 지적하는 옮긴이주는 본문에 포함되어서 차라리 나았다.) 주석을 읽으려면 본문을 읽다가 주석 읽고 다시 원래 자리로 찾아 돌아가서 읽어야 되는데 그렇게 하면 흐름이 끊기고, 막상 주석이 본문의 줄거리와 크게 관련 없는 사소한 내용일 경우에는 실망만 커진다. 차라리 그 주석들을 전부 각 장의 뒤나, 아니면 책의 맨 뒤 부록으로 뺐으면 좋겠다.
  2. 일부 어려운 개념이나, 인명 옆에 원문을 작은 글씨로 병기했다. 이 영문 부분도 새로운 정보를 주기 보다는 읽기에 걸리적 거리니깐 뒤에 찾아보기 부분에 같이 병기하는 편이 낫다고 본다. 그렇게 하면 관련 자료를 서로 참조할 때 굳이 본문에 일일이 원문을 표시해 주지 않아도 불편하지 않을 것이다. 

불완전성 : 쿠르트 괴델의 증명과 역설
카테고리 과학
지은이 레베카 골드스타인 (승산, 2007년)
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GREAT DISCOVERIES의 첫 번째 시리즈 아인슈타인의 우주이다. 아인슈타인의 일대기와 그가 이룬 업적과 성취, 그리고 생활사 등이 시간 순서대로 나와 있다. 광전효과와 상대론 같은 그의 업적 외에도, 그의 가족사와 왜 그가 스위스 시민권자가 되고 미국으로 나치를 피해 도망왔는지 등을 알 수 있었다.

물리학에는 위대한 발자취를 남겼지만, 그런 그가 대학에 다닐 때에는 교수들과 사이가 안 좋아서 특허국에 친구의 도움으로 취직했다는 것은 다소 의외였다. 특히 실험과목에서 주어진 매뉴얼을 불태우고 나름의 방법대로 하다가 손을 다친 이야기에서, 그가 무모한 면도 있지만 용기 있다는 인상을 느꼈다. 하지만 특허국에서 작성한 그의 논문이 이렇게 유명하게 될 줄 그의 주변사람들은 잘 모르지 않았을까 싶다.
아인슈타인의 우주
카테고리 과학
지은이 미치오 카쿠 (승산, 2007년)
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물리학자 리처드 파인만의 강연을 실은 책이다. 자신의 과학, 정치, 종교 뿐만 아니라 삶에 대한 것 까지 자신의 의견을 남김없이 말하고 있다. 이미 리처드 파인만에 관한 책도 많이 나와 있고, 그의 강의 자료도 책으로 번역되어서 한국에 출판되었다. 스트레인지 뷰티에서도 겔만과 파인만의 이야기가 나오던 기억이 난다. 강연 내용을 담았기 때문에 책은 얇은 편이다.

강연의 내용을 읽어 보니까, 역시 파인만 특유의 재치와 재담이 눈에 띈다. 재미 있는 일상 경험과 자신의 말하고자 하는 바를 엮어서 참 말을 잘하는 것 같다. 과학 뿐만 아니라 과학이 사회에 미치는 영향, 과학과 사회와의 관계 등을 다시 한 번 생각하게 해 준 책이었다. 또한 다른 책과는 다르게, 사회 종교에 대한 주제에 대해서 파인만의 개인적 생각을 들을 수 있어서 흥미로웠다.
과학이란 무엇인가
카테고리 과학
지은이 리처드 파인만 (승산, 2008년)
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물리학자 머리 겔만의 이야기를 다루고 있다. 그는 쿼크라는 이름을 만들고, 팔중도(Eightfold way) 개념을 제안한 것으로 유명하다. 책의 전반부에서는 겔만의 이름에 대해서 다루는 데, Gell-Mann으로 하이픈을 사이에 넣어서 다른 사람들과 이름이 구별된다는 이야기였다. 그의 학창시절과 친구들의 이야기도 소개가 되는데, 옳지 않은 것은 꼭 지적하고 여러 차례 월반도 했다고 한다.

25살에 교수가 되다니, 정말 대단한 것 같다. 그는 리처드 파인만처럼 유머나 임기응변이 능하지 않고, 결정적으로 글쓰기에 매우 약했다고 한다. 그래서 노벨상을 마흔의 나이에 받았을 때, 기념 강연을 하고 그 강연 노트를 기념집에 제출을 해야 되는데 쓰지 못해서 머리 겔만의 강연만 공란으로 남겨두고 발간했다고 한다. 비교적 현대 과학자의 전기라 그런지, 생소했다. 훌륭한 과학자가 되려면 예리하게 틀린 부분을 찾고 고쳐나가는 자세가 필요하다는 것을 느꼈다.  
스트레인지 뷰티
카테고리 시/에세이
지은이 조지 존슨 (승산, 2004년)
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이전에 소개했던 드리밍 인 코드를 읽고 있다. 실리콘 밸리에서 벌어지는, 오픈소스 PIMS 프로젝트 챈들러를 둘러싼 이야기이다. 시간 순서대로 챕터가 나뉘어 있다. 비즈니스 목적이 이닌 오픈소스 개발에서 나타나는 어려움이 잘 나타난 것 같다. 일정의 불확실성, 요구사항의 불확정성 등의 문제, 개발자 간의 커뮤니케이션 문제와, 오픈소스이기 때문에 결정이 지연되는 문제 등이 등장했다.

글쓴이 스콧 로젠버그가 직접 프로젝트에 참여하면서 겪은 이야기이다. 그 때문에 1인칭 관찰자 시점으로 바라보는 프로젝트 진행 이야기는 더 사실적이고, 흥미로웠다. 소프트웨어 개발 프로젝트는 전혀 쉽지 않은 일이고 만만하게 봐서는 안 될 일이라는 걸 느꼈다. 자연스럽게 번역이 잘 되었기 때문에, 읽고 내용을 이해하는 데 불편하지 않았다. 이미 남들이 했던 실수를 되풀이하지 않기 위해, 그리고 다른 프로젝트의 사례에서 인사이트를 얻고자 한다면, 이 책이 좋은 참고가 될 것 같다.  

드리밍 인 코드
카테고리 컴퓨터/IT
지은이 스콧 로젠버그 (에이콘출판, 2009년)
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aptitude로 설치하다가 나타난 경고 메시지를 기록해두면,
WARNING: untrusted versions of the following packages will be installed!

Untrusted packages could compromise your system's security. You should only proceed with the installation if you are certain that this is what you want to do.
* libcap1 [version 1:1.10-14build1]
[Really continue]   [Abort Installation]
Package libcap1(우분투)에서 정보를 더 찾을 수 있다.
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